KEGEL - halbiertes Volumen: Welche Höhe?

Wissenschaft Physik
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Erstmal ein Moin! aus dem hohen Norden!

Kommen wir zu meinem Problem.
Wie die Titelzeile bereits deutlich macht geht es bei meinem Problem um Körperberechnungen.

Trotzdem hier noch mal mein Problem in Volltext:
Man nehme einen Kegel(Grundseite unten) und fülle so viel Wasser wie möglich hinein. Nun gießt man es wieder hinaus und halbiert die Menge. Daraufhin wird es wieder hinein geschüttet. Wie hoch steht das Wasser nun.

Bitte: Bei der Antwort geht es mir um einen Lösungsweg/ansatz die Lösung steht ebenfalls auf dem Arbeitsblatt

Ich bedanke mich schon einmal für das Durchlesen und freue mich über jede Antwort.

Quelle (nicht wörtlich aber sinnlich):
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/2.Geometrie/2.1…
(Aufgabe 21)

2

Hallo!

Es sei:
hges … die Höhe des Kegels
rmax … der Radius an der Grundseite

h … die Integrationsvariable über die Höhe

A(h) = pi * r(h)^2
r(h) = rmax/h*(hges-h)
=>
A(h)=pi * (rmax/h*(hges-h))^2

V(h) = Integral (A(h)) von 0 bis h

Vneu(hneu) = 1/2 Valt(halt)

auflösen nach hneu und schon hat man das Ergebnis …

Ich hoffe ich konnte weiterhelfen

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Hallo Julien,

wenn du die halbe Menge Wasser wieder in den Kegel füllst bleibt über der Wasseroberfläche ein mit Luft gefüllter Raum frei. Dieser Raum hat ebenfalls die Form eines Kegels, allerdings mit geringerer Höhe und geringerem Grundflächenradius als der gesamte Kegel.
Am besten machst du dir eine Skizze, indem du die Spitze des Kegels zeichnest und dazu die Höhe und eine Seitenlinie. Dann zeichnest du noch (irgendwo zwischenrein) die Höhe und den Radius der Luft-Wasser-Grenze.
Da die Grundfläche des Kegels und die Luft-Wasser-Grenze parallel sind, kann man jetzt den Strahlensatz anwenden und so den Radius der Luft-Wasser-Grenze durch die Höhe des Luftkegels ausdrücken.
Als nächstes hast du folgende Formel für das Volumen des Luftkegels.
V=1/3πrL2hL
Da nutzt du aus, dass du rL (den Radius der Luft-Wasser-Grenze) durch hL (die Höhe des Luftkegels) ausdrücken kannst. Also einsetzen und das ganze nach hL auflösen.
Die Höhe des gesamten Kegels minus die Höhe des Luftkegels ergibt die Höhe des Wassers.
Wenn irgendwas unverständlich war, frag ruhig nochmal nach.
Viel Erfolg !

hendrik

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Danke schön für eure Antworten.
Nur leider muss ich sagen, dass ich noch keine Integralrechnung in der Schule hatte, weshalb der Vorschlag von comzine leider ausfällt. Trotzdem danke für deine Mühe!

Also Hendrik:
Ich hatte ein Problem, nur weiß ich nicht wie ich es beschreiben soll, also schreibe ich dir mal meinen ganzen Lösungsweg.

Nehmen wir nun einmal folgende Werte an:
r(Grundkreis)=2cm
h(Gesamtkegel)=4cm

also gilt:

V(des gesamten Kegels)=1/3*r^2*pi*h
=1/3*2^2*pi*4
gerundet 16,7552cm^3

Dann wissen wir also das das Volumen des Luftkegels=V/2=8,37758cm^3(gerundet)
sein muss.

Nun zum Strahlensatz:
r(Grundkreis)/r(Luftkegel)= h(Gesamtkegel)/h(Luftkegel)

einsetzen

2/r(Luftkegel)=4/h(Luftkegel)

nach r aufgelöst

r=2*h(Luftkegel)/4
r=0,5*h(Luftkegel)

Volumenformel:
v/2=1/3*r(Luftkegel)*pi*h(Luftkegel)

einsetzen
8,37758=1/3*0,5h*pi*h
nach h aufgelöst
h=-4 oder h=4

4!4!4!
Das ist aber doch unsere Gesamthöhe, was habe ich also falsch gemacht?

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Re^2: KEGEL - halbiertes Volumen: Welche Höhe?

Danke schön für eure Antworten.
Nur leider muss ich sagen, dass ich noch keine Integralrechnung in der Schule hatte, weshalb der Vorschlag von comzine leider ausfällt. Trotzdem danke für deine Mühe!

Also Hendrik:
Ich hatte ein Problem, nur weiß ich nicht wie ich es beschreiben soll, also schreibe ich dir mal meinen ganzen Lösungsweg.

Nehmen wir nun einmal folgende Werte an:
r(Grundkreis)=2cm
h(Gesamtkegel)=4cm

also gilt:

V(des gesamten Kegels)=1/3*r^2*pi*h
=1/3*2^2*pi*4
gerundet 16,7552cm^3

Dann wissen wir also das das Volumen des Luftkegels=V/2=8,37758cm^3(gerundet)
sein muss.

Nun zum Strahlensatz:
r(Grundkreis)/r(Luftkegel)= h(Gesamtkegel)/h(Luftkegel)

einsetzen

2/r(Luftkegel)=4/h(Luftkegel)

nach r aufgelöst

r=2*h(Luftkegel)/4
r=0,5*h(Luftkegel)

Volumenformel:
v/2=1/3*r(Luftkegel)*pi*h(Luftkegel)

einsetzen
8,37758=1/3*0,5h*pi*h
nach h aufgelöst
h=-4 oder h=4

4!4!4!
Das ist aber doch unsere Gesamthöhe, was habe ich also falsch gemacht?

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Hallo Julien,

sieht alles ganz gut aus bis auf diesen Schritt:

einsetzen
8,37758=1/3*0,5h*pi*h

Du hast vergessen, dass in der Formel r2 steht, es müsste also heißen
8,37758=1/3*(0,5h)2*pi*h

Gruß

hendrik

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Danke schön. Das war mein Fehler!
Also die obligatorische Antwort:

Das Wasser wird innerhalb des Kegels eine Höhe von 3,1748cm aufweisen.

Grüße!
Julien

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Verdammt!

Die Antwort lautet natürlich:
Das Wasser wird eine Höhe von 0,82516cm erreichen.

Gruß!
Julien

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Hallo Julien
Zu deiner letzten Frage,
du löst die Gleichung nach r - Luftkegel auf, hast aber für h - Luftkegel keinen Wert, wie willst du das jetzt ausrechnen? Mit der Gesamthöhe des Kegels geht das nicht !
Da liegt der Fehler.
es ist spät, ich geh schlafen, vielleicht fällt mir morgen was ein
Gruss Dieter

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Hallo Julien,
hier steht deine Lösung:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kegelstumpf

damit kommst du auf deine dir fehlende Unbekannte und ich brauch nicht soviel schreiben
Gruss Dieter