Hallo,
ich hab da ein mathematisches Problem,das ich zu lösen habe,aber
leider nicht auf die Lösung komme.Und zwar geht es um Kegelschnitte,genauer
eine rechtwinklige Hyperbel (die Asymptoten sind also
rechtwinklig)mit der Gleichung x²-y²=a² wird von einer Geradenschar
mit der Steigung m geschnitten.Zu zeigen ist,dass die Mittelpunkte
der entstandenen Hyperbelsehnen auf einer Geraden 1/m,die durch den
Ursprung verläuft,liegen.Danke für die Mühe…
Ich schicke Dir per Mail die Lösung. Ich weiß nicht, wie man hier ein pdf File anhängt.
mfG
Sascha D’Angelico
Hallo,
wenn du die Hyperbelgleichung f(x) mit der Geradengleichung für die Kurvenschar (g(x)) gleichsetzt f(x)=g(x) und versuchst, sie nach x aufzulösen, wirst Du eine quadr. Gleichung bekommen. Diese hat 2 Lösungen, nämlich xo1 und xo2. xo1 und xo2 sind also die x-Werte derjenigen Punkte, in denen sich Hyperbel und Kurvenschar (abhängig von b) schneiden. Die dazugehörenden y-Werte yo1 und yo2 dieser Punkte erhälst Du, wenn Du xo1/xo2 in g(x) oder f(x) einsetzt: yo1/2=G(x=xo1/2)=m*xo1/2+b.
Wir haben jetzt also beide Punkte (abhängig von b) p1(xo1;yo1) und p2(xo2;yo2), in denen sich f(x) und g(x) treffen.
Um die Mitte von xo1-xo2 und yo1-yo2 zu finden, benuzten wir folgende Gleichung: xo=xo1+(xo2-xo1)/2 bzw. yo=yo1+(yo2-yo1)/2.
Wir haben mit xo;yo nun also einen Punkt, der auf der gesuchten Ursprungsgeraden (y(x)=st*x) liegt (oranger Punkt in Graphik). y(x)=st*x umgeformt in st=y(x)/x und unsere Punkte xo;yo eingesetzt ergibt:
st=yo/xo=1/m.