hallo!
die kettenregel für f(g(x)) ist mir klar, aber wie siehts aus bei
f(g(h(x)))? gibts da *einfache* regel oder wird das arg kompliziert und man man muss praktisch 2 verschachtelungen betrachten, also
u = f(v)
v = g(h(x))
und dann noch mal
v = g(w)
w = h(x)
???
vielen dank für die antworten!
sprich
(u * v * w ) = (u’ * (v * w) ) + (u * (v’ * w + v * w’))
?
Hallo Julian,
(u * v * w ) = (u’ * (v * w) ) + (u * (v’ * w + v * w’))
genau so! Wenn Du noch die Klammer um „u * (v’ * w + v * w’)“ auflöst, hast Du am Schluß eine Summe aus drei „UVW“-Produkten da stehen, wobei im ersten Produkt das u, im zweiten das v, und im dritten das w den Strich hat. Die Sache ist also so hübsch symmetrisch, wie sie es sein muß (Warum? Bitte selbst drüber nachdenken!).
Deine Vermutung zur Anwendung der Kettenregel auf „f(g(h(x)))“ stimmt ebenfalls. Hier liegt eine zweistufige Verschachtelung vor, und es wird ziemlich kompliziert. Aber so kompliziert, daß es richtig eklig ist, nun auch wieder nicht.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Aber so kompliziert, daß es richtig eklig ist, nun auch wieder nicht.
Mit freundlichem Gruß
Martin
öhem…das problem einerseits ist:
(-2 + 3x)^15 * (5 - x)^7
nicht wirklich schwer, allerdings müssen wir nicht nur die 1. sonderna uch die 2. ableitung bilden…und da wirds dann fummelig…zudem es 4 funktionen derart sind…
naja, „wir studenten haben ja zeit“ [TM]
danke für die rasche antwort!
(e^e^x^2)’ = (e^e^x^2) * (e^x^2)’ = (e^e^x^2) * e^x^2 * (x^2)’ = (e^e^x^2) * e^x^2 * 2x
oder?
(e^e^x^2)’ = (e^e^x^2) * (e^x^2)’ = (e^e^x^2) * e^x^2 * (x^2)’
= (e^e^x^2) * e^x^2 * 2x
Ja, ist von vorne bis hinten richtig.
Wenn Du einen grafikfähigen Taschenrechner, d. h. einen mit Funktionenplot-Feature hast, kannst Du Dein Ergebnis auch einfach dadurch überprüfen, indem Du die Funktion e^e^x^2 eingibst, und den Rechner anweist, die erste Ableitung davon *numerisch* zu berechnen und zu plotten. Beim Vergleich des ausgegebenen Graphen mit dem der Funktion (e^e^x^2) * e^x^2 * 2x wirst Du feststellen, daß beide identisch sind.
hm, gut, vielen dank! habe grade ein tool gefunden:
http://www.calc101.com/webMathematica/Ableitungen.js…
mein nicht-grafischer taschenrechner hat bei wenig licht seit einiger zeit leider ein paar macken, scheint wohl der akku kaputt zu sein…mal gucken ob man den austauschen kann oder was es da für nette spielzeuge gibt…wobei ich eigentlich recht stolz bin, einen noch halbwegs simplen zu besitzen…
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Kettenregel bei höheren Ableitungen
…soweit wohl alles geklärt,
für den allgemeinen Fall der n-ten Ableitung der verketteten Funktion f(g(x)) gibt es die Regel von Faa di Bruno (Google: chain rule Faa). Untiefen der Zahlentheorie!
Stefan