KFZ Kaufvertrag Unterschrift fehlt

Hallo!
Ich habe vorgestern das Auto meines Vaters verkauft. Da dieser zur Zeit im Krankenhaus ist, hat meine Mutter den Kaufvertrag unterschrieben.
Jetzt habe ich festgestellt, dass der Käufer nur auf einem Vertrag, nämlich auf dem den er hat unterschrieben hat. Somit fehlt auf meinem die Unterschrift des Käufers. Ich habe lediglich auf der Quittung dass ich das Geld erhalten habe eine Unterschrift der Ehefrau des Käufers. Kaufvertrag und Quittung befinden sich auf einer Seite.
Jetzt habe ich den Käufer heute angerufen und ihn gebeten mir noch die Unterschrift zu geben. Er wollte sich nochmal melden um einen Termin zu vereinbaren. Hat er aber nicht gemacht.
Jetzt frage ich mich wie das rechtlich so läuft? Kann er sagen, dass kein Kaufvertrag besteht und ich das Auto zurücknehmen muss oder so? Ich war gestern mit der Ehefrau des Käufers bei der Zulassungsstelle und sie hat das Auto umgemeldet.
Im Vertrag steht „Ausschluss der Sachmängelhaftung“, das heißt doch, der Käufer hat keinerlei Gewährleistungsansprüch an mich, oder?

Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß Meggy

Hallo, der Käufer hat keine Ansprüche an Dich, Du bist Privatperson, kein Händler, einen Kaufvertrag kann man auch mündlich abschließen, zudem hast Du die Unterschrift auf der Quittung, kann also nichts passieren.