Klassenarbeit - unlösbare Aufgabe?

Wissenschaft Physik
1

Hallo!!
In der Klassenarbeit meines Sohnes (10. Klasse) kam folgende Aufgabe dran, an der ich mir jetzt schon ewig die Zähne ausgebissen habe und bei der m.E.
die Angabe des Anfangswertes fehlt, ohne die man die Aufgabe nicht lösen kann. Aber bevor ich mich beschwere, vll. bin ich ja auch nur zu doof ^^, also liebe Experten, helft mir bitte!

Es geht um Wachstum und Zerfall:
Beim Mischen von Saft und Wasser entsteht Schaum. Ein leeres Glas wird mit der Mischung gefüllt. Dabei sinkt einerseits die Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%, andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum in Höhe von 20 cm.
Berechne, nach wie viel Minuten sich die Schaumhöhe im Glas erstmals pro Minute nur noch um weniger als 10 cm ändert.

Soweit, so gut…ich komme auf:
0,4 B(t) - 20

2

Hallo,

Es geht um Wachstum und Zerfall:
Beim Mischen von Saft und Wasser entsteht Schaum. Ein leeres
Glas wird mit der Mischung gefüllt. Dabei sinkt einerseits die
Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%,
andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum in Höhe
von 20 cm.
Berechne, nach wie viel Minuten sich die Schaumhöhe im Glas
erstmals pro Minute nur noch um weniger als 10 cm ändert.

Ich verstehe die Aufgabe so:
Anfangs ist das Glas leer, man schüttet den Kram rein und ohne die Abnahme hätte man ein lineares Wachstum, delta B = 20, ohne Hinzufügen hätte man exponentielle Abnahme, delta B=-0,4*B, überlagert gibt das halt delta B= 20-0,4*B, wobei zu Beginn ja kein Schaum da ist. Also B(0)=0, nächster Schritt: B(1)=0+20-0,4*B(0)=20, B(2)=20+20-0,4*20=32, usw.

Folgende Frage muss erlaubt sein:
Wer schüttet minutenlang Saft und Wasser in ein Glas?

Gruß
MK

3

Hallo!!
In der Klassenarbeit meines Sohnes (10. Klasse) kam folgende
Aufgabe dran, an der ich mir jetzt schon ewig die Zähne
ausgebissen habe und bei der m.E.
die Angabe des Anfangswertes fehlt, ohne die man die Aufgabe
nicht lösen kann. Aber bevor ich mich beschwere, vll. bin ich
ja auch nur zu doof ^^, also liebe Experten, helft mir bitte!

Es geht um Wachstum und Zerfall:
Beim Mischen von Saft und Wasser entsteht Schaum. Ein leeres
Glas wird mit der Mischung gefüllt. Dabei sinkt einerseits die

Also ist die Anfangsbedingung B(0) = 0

Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%,
andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum in Höhe
von 20 cm.

ΔB(t) = 20 - 0,4B(t)

Berechne, nach wie viel Minuten sich die Schaumhöhe im Glas
erstmals pro Minute nur noch um weniger als 10 cm ändert.

Ohne Gewähr auf Rechenfehler:
[t] = Minuten, [B] = cm.

dB/dt = 20-0,4B
homogener Teil: dB/B = -0,4dt
B(t) = A * exp(-0,4t)
Variation der Konstanten A = A(t):
A’(t)*exp(-0,4t) - A*0,4*exp(-0,4t) = 20-0,4*A*exp(-0,4t)
A’(t)*exp(-0,4t) = 20
A’(t) = 20*exp(0,4t)
A(t) = 20/0,4 * exp(0,4t) + C
A(t) = 50 * exp(2t/5) + C

Also Lösung der inhomog. DGL:

B(t) = (50 * exp(2t/5) + C) * exp(-2t/5)
B(t) = 50 + C * exp(-2t/5)

Anfangsbedingung B(0) = 0: C = -50
–> B(t) = 50 - 50*exp(-2t/5)

Gesucht: t:dB(t)/dt = B’(t)

4

Hallo,

In der Klassenarbeit meines Sohnes (10. Klasse) kam folgende
Aufgabe dran, an der ich mir jetzt schon ewig die Zähne
ausgebissen habe und bei der m.E.
die Angabe des Anfangswertes fehlt, ohne die man die Aufgabe
nicht lösen kann. Aber bevor ich mich beschwere, vll. bin ich
ja auch nur zu doof ^^, also liebe Experten, helft mir bitte!

Es geht um Wachstum und Zerfall:
Beim Mischen von Saft und Wasser entsteht Schaum. Ein leeres
Glas wird mit der Mischung gefüllt. Dabei sinkt einerseits die

Also ist die Anfangsbedingung B(0) = 0

Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%,
andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum in Höhe
von 20 cm.

ΔB(t) = 20 - 0,4B(t)

Ich war kurz davor das gleiche zu schreiben. Ist ja auch richtig. Aber in der 10. Klasse waren „Differentialgleichungen“ für mich gleichbedeutend mit „gefährlicher, komplizierter“ Mathematik, von der ich noch nichts wissen muss.

Berechne, nach wie viel Minuten sich die Schaumhöhe im Glas
erstmals pro Minute nur noch um weniger als 10 cm ändert.

[…]

Also ist nach etwa 1,7 Minuten der Zeitpunkt erreicht, wo die
Änderungsrate der Schaumhöhe unter 10cm/Minute sinkt.

Würde ich die Rechnung vorgesetzt bekommen zum korrigieren,
würde ich die fehlenden Einheiten in der Rechnung bemängeln.

Würde ich die Rechnung in die vorgesetzt bekommen zum korrigieren, würde ich den Schüler auf die Universität in Mathevorlesungen schicken, weil er nichts mehr zu lernen hat.
Ich als angehender Physiker würde es auch so lösen, vielleicht ist ja tatsächlich nach einem Lösungsweg in diskreten Zeitschritten gefragt, auch wenn das von der Physik her sicher falsch ist.

Grüße,
Moritz

5

Hallo,

Es geht um Wachstum und Zerfall:
Beim Mischen von Saft und Wasser entsteht Schaum. Ein leeres
Glas wird mit der Mischung gefüllt. Dabei sinkt einerseits die
Höhe des bereits vorhandenen Schaums in jeder Minute um 40%,
andererseits bildet sich in jeder Minute neuer Schaum in Höhe
von 20 cm.
Berechne, nach wie viel Minuten sich die Schaumhöhe im Glas
erstmals pro Minute nur noch um weniger als 10 cm ändert.

Soweit, so gut…ich komme auf:
0,4 B(t) - 20

B(0) = 0
B(1) = 20 + 0.6*B(0) = 20, Differenz = 20
B(2) = 20 + 0.6*B(1) = 32, Differenz = 12
B(3) = 20 + 0.6*B(2) = 39.2, Differenz = 7.2 Antwort ist „nach 3 Minuten“

Mir als Physiker widerstrebt dieses Vorgehen, weil Schaum nicht in diskreten Zeitschritten zerfällt, wie man es korrekt macht hat Ingo ja schon vorgerechnet.

Du solltest dem Lehrer mit Grüßen von mir freundlich und kräftig in den Allerwertesten treten.

Grüße,
Moritz

6

Moin,

ΔB(t) = 20 - 0,4B(t)

Ich war kurz davor das gleiche zu schreiben. Ist ja auch
richtig. Aber in der 10. Klasse waren
„Differentialgleichungen“ für mich gleichbedeutend mit
„gefährlicher, komplizierter“ Mathematik, von der ich noch
nichts wissen muss.

Ich muß Dir zustimmen, in der 10. Klasse konnte ich das ziemlich sicher auch noch nicht. Jedoch kam es bei mir irgendwann in den drei darauf folgenden Jahren in der Schule dran; eine kurze Suche nach aktuellen Lehrplänen bietet ein ähnliches Bild: DGL können, aber müssen nicht in der gymnasialen Oberstufe dran kommen.

Würde ich die Rechnung in die vorgesetzt bekommen zum
korrigieren, würde ich den Schüler auf die Universität in
Mathevorlesungen schicken, weil er nichts mehr zu lernen hat.

) Wäre sicher nicht verkehrt. Nicht umsonst gibt’s ja schon häufig für interessierte Schüler die Möglichkeit, an der Uni einige Kurse mitzumachen.

Ich als angehender Physiker würde es auch so lösen, vielleicht
ist ja tatsächlich nach einem Lösungsweg in diskreten
Zeitschritten gefragt, auch wenn das von der Physik her sicher
falsch ist.

Infinitisemalrechnung ist doch das selbe - nur seeeehr fein unterteilt :wink: Man könnte es zur Abwechslung auch graphisch lösen - eine häufig leider nicht mehr praktizierte Variante. Aber der Anschauung ist häufig gedient, wenn man sich das Problem einfach 'mal skizziert. Sowas findet sich bspw. auch schon in Lehrplänen für Klasse 10 im Rahmen von Funktionsdiskussionen.
Deine Lösung mit den Reihen sollte ggf. auch schon verfügbar sein. Deiner Einschätzung der Qualität der Lösung stimme ich aber auch zu.

Gruß,
Ingo

7

Ich glaube nicht, dass man das allgemein rechnen soll, sondern
eher in der Form:

B(0) = 0
B(1) = 20 + 0.6*B(0) = 20, Differenz = 20
B(2) = 20 + 0.6*B(1) = 32, Differenz = 12
B(3) = 20 + 0.6*B(2) = 39.2, Differenz = 7.2 Antwort ist „nach 3 Minuten“

Mir als Physiker widerstrebt dieses Vorgehen, weil Schaum
nicht in diskreten Zeitschritten zerfällt, wie man es korrekt
macht hat Ingo ja schon vorgerechnet.

Ok, so sieht es logisch aus… aufgrund der zuvor gestellten Aufgabe bin ich einfach nicht von B(0) = 0 ausgegangen, aber so muss es wohl sein ^^

Du solltest dem Lehrer mit Grüßen von mir freundlich und
kräftig in den Allerwertesten treten.

Das stammte ursprünglich aus einer alten zentralen Klassenarbeit, aber wer immer sich das ausgedacht hat, hat meinen Tritt *gg*

Vielen Dank
Sally