Klausurvorbereitung - Bitte um Hilfe

Wissenschaft Mathematik
#21

Das schreibe ich dann mal etwas schöner :smile:
f(x) = f(0) + f’(0)x + 1/2 x^T * f’’(0)x

Ich behalte eben gerne den Überblick über die
beteiligten Dimensionen, Variablen und eingesetzten Werte :wink:
Nichts für ungut, deine Notation sieht aber wirklich schöner aus.

Der Lösungsweg zum Integral ist anders als geschrieben, aber ebenso schön;
im Skript haben wir diesen wunderbaren Satz gegeben:
http://s7.directupload.net/images/110805/fs2r6bf7.jpg
Sei Q = [0,1] x [0,1]. Berechnen Sie das Integral
I_Q ((x_1)² / (1 + x_2²)) dx (wobei I_Q Integral über Q bezeichnet).
… umformen: I von 0 bis 1 I von 0 bis 1 (x_1)² * (1 + x_2²)^-1 dx_1 dx_2
und nun den den kleinen Satz von Fubini, siehe oben, anwenden.
Eventuell muss man aber mit Substitution oder partieller
Integration arbeiten, ich habe es mir noch nicht richtig angeschaut.

Nächste Aufgabe: Bestimmen Sie alle lokalen Minima und Maxia von:
f(x,y) = x(x - 2) + y² = x² - 2*x + y². Ansatz?

#22

Nächste Aufgabe: Bestimmen Sie alle lokalen Minima und Maxia
von:
f(x,y) = x(x - 2) + y² = x² - 2*x + y². Ansatz?

Ohne Nebenbedingung (etwas wie x+y muss gleich 5 sein) würde ich die Funktion einmal ableiten, die Nullstellen der Ableitung (kritische Punkte) bestimmen, diese dann in die zweite Ableitung einsetzen und die daraus enststehende Matrix auf positive/negative Definitheit überprüfen.

mfg,
Che Netzer

#23

Ohne Nebenbedingung (etwas wie x+y muss gleich 5 sein) würde
ich die Funktion einmal ableiten, die Nullstellen der
Ableitung (kritische Punkte) bestimmen, diese dann in die
zweite Ableitung einsetzen und die daraus enststehende Matrix
auf positive/negative Definitheit überprüfen.

Nebenbedingungen sind nicht gegeben. Ich habe mich schlau gemacht
und der eleganteste Weg wäre wohl wirklich über die Definitheit
der Matrix zu gehen. Mit der ersten Ableitung meinst Du wohl
d/dx f(x,y)
d/dy f(x,y)
aufstellen, den daraus entstehenden Gradienten grad(f(x,y)) mit dem
Nullvektor gleichsetzen, eine Gleichung nach einer Variablen
auflösen, und das dann in die andere einsetzen … weiter?

#24

Mit der ersten Ableitung meinst Du wohl
d/dx f(x,y)
d/dy f(x,y)
aufstellen, den daraus entstehenden Gradienten grad(f(x,y))
mit dem
Nullvektor gleichsetzen, eine Gleichung nach einer Variablen
auflösen, und das dann in die andere einsetzen

Ja, die Ableitung, also der Gradient/die Jacobi-Matrix, soll nur Nullen enthalten. Das sind dann mögliche Extrempunkte

weiter?

Man bestimmt die Hesse-Matrix und setzt dort die berechneten kritischen Punkte ein… Wenn die dann positiv definit ist, hat man ein (strenges) lokales Minimum usw.

mfg,
Che Netzer

#25

Ja, die Ableitung, also der Gradient/die Jacobi-Matrix, soll
nur Nullen enthalten. Das sind dann mögliche Extrempunkte

Wie kommst Du darauf, dass grad(f) nur Nullen enthalten soll?
Ich habe es nun so gemacht: f(x,y) = x² - 2*x + y² und somit:
d/dx f(x,y) = 2*x - 2
d/dy f(x,y) = 2*y

grad(f(x,y) = (2*x - 2, 2*y)^T = J_f(x,y)

(2*x - 2, 2*y)^T = (0,0)^T

(1) 2*x - 2 = 0 => x = 1
(2) 2*y = 0 => y = 0

f(x = 1, y = 0) = -1

Und nun? Was bringt mir das?

Man bestimmt die Hesse-Matrix …

d²/dx²: 2
d²/dy²: 2
d²/dxdy = d²/dydx: 0

H_f(x,y) =

2 0
0 2

und setzt dort die berechneten kritischen Punkte ein.
Wenn die dann positiv definit ist, hat
man ein (strenges) lokales Minimum usw.

… ?

#26

Ja, die Ableitung, also der Gradient/die Jacobi-Matrix, soll
nur Nullen enthalten. Das sind dann mögliche Extrempunkte

Wie kommst Du darauf, dass grad(f) nur Nullen enthalten soll?

Weil es dann der Nullvektor ist :smile:

Ich habe es nun so gemacht: f(x,y) = x² - 2*x + y² und somit:
d/dx f(x,y) = 2*x - 2
d/dy f(x,y) = 2*y

grad(f(x,y) = (2*x - 2, 2*y)^T = J_f(x,y)

Naja, fast. Die Jacobi-Matrix müsstest du noch transponieren, sonst stimmt alles.

(2*x - 2, 2*y)^T = (0,0)^T

(1) 2*x - 2 = 0 => x = 1
(2) 2*y = 0 => y = 0

Genau.

f(x = 1, y = 0) = -1

Und nun? Was bringt mir das?

f(1,0) bringt dir erst einmal gar nichts…

Man bestimmt die Hesse-Matrix …

d²/dx²: 2
d²/dy²: 2
d²/dxdy = d²/dydx: 0

H_f(x,y) =

2 0
0 2

Genau.

und setzt dort die berechneten kritischen Punkte ein.
Wenn die dann positiv definit ist, hat
man ein (strenges) lokales Minimum usw.

… ?

f’’(x,y) = H_f =
2 0
0 2

Das ist positiv definit (kleinster Eigenwert ist 2 > 0), also hat die Funktion in (1,0) ein lokales Minimum.

Ähnlich wie im Reellen:
f(x) = x²
f’(x) = 2x => x = 0 ist ein kritischer Punkt
f’’(x) = 2 => f’’(0)=2 => 0 ist Minimalstelle

Im Mehrdimensionalen geht man genauso vor, nur dass man das Vorzeichen von f’’(x) natürlich nicht bestimmen kann. Deswegen benutzt man die Definitheit. (Die kann man natürlich auch im Reellen anwenden, dann entspricht sie aber dem Vorzeichen)

mfg,
Che Netzer

#27

Hallo ihr beiden :smile:

da Euer Wortwechsel mittlerweile den Thread wachsen lässt ohne sich eines allgemeinen Interesses zu erfreuen, möchte ich Euch bitten, allmählich zu einem Ende zu finden, oder einfach per eMail weiterzudiskutieren. Danke für Euer Verständnis.

Mit freundlichem Gruß
Martin
Moderator im Brett Mathematik

#28

Die Jacobi-Matrix müsstest du noch transponieren, …

Stimmt, sry, wollte schreiben =J_f(x,y)^T.

f’’(x,y) = H_f =
2 0
0 2

Das ist positiv definit (kleinster Eigenwert ist 2 > 0), also
hat die Funktion in (1,0) ein lokales Minimum.

Alles klar. Was ist der Unterschied zu einem globalen Minimum?

Ähnlich wie im Reellen:
f(x) = x²
f’(x) = 2x => x = 0 ist ein kritischer Punkt
f’’(x) = 2 => f’’(0)=2 => 0 ist Minimalstelle

Stimmt …

Im Mehrdimensionalen geht man genauso vor, nur dass man das
Vorzeichen von f’’(x) natürlich nicht bestimmen kann. Deswegen
benutzt man die Definitheit. (Die kann man natürlich auch im
Reellen anwenden, dann entspricht sie aber dem Vorzeichen)

OK, vielen Dank. Hier sollten wir vielleicht abbrechen
(Bitte vom Mod). Hättest Du interesse, via eMail weiter-
zuschreiben? Ich würde mich freuen! truenemy @ t-online.de

#29

Alles geklärt!
Kurze Anmerkung:
Per E-Mail-Kontakt wurde nun (mit insgesamt 67 Mails) die Frage samt Folgefragen beantwortet; damit wäre alles geklärt.

mfg,
Che Netzer