ist die Menge
M={z element C | |z|>=1,|Rez|=0}
abgeschlossen? Warum?
Grüße
Oliver
Abgeschlossen alle Haufungspunkte liegen drin.
Betrachte Folge z_i, mit Haeufungspunkt z_0. Diese Folge hat eine gegen z_0 konvergente Teilfolge z_{i_j}. Widerspruchsannahme: eine der drei Nebenbedingungen ist fuer z_0 nicht erfuellt, z.B.
(das Argument ist fuer alle drei gleich) |Re z|> 1/2. Dann
ist {Re z|=1/2+x. Da z_{i_j} gegen z_0 konvergiert gibt es ein z_{i_j0}, dessen Abstand von z_0 kleiner als x/2 ist.
Da aber |z_{i_j0}-z_0|>=|Re(z_{i_j0})-Re(z_0)| ist, ist
|Re(z_{i_j0})|>=|Re(z_0)-x/2|=|1/2+x/2|>1. Somit war schon
z_{i_j0} nicht in der Menge. Widerspruch.
Das klappt beim Betrag und beim Imaginaerteil genauso; unabhaengig davon sind Schnitte abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen.
Die Menge ist also abgschlossen.
MFG
Martin
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ist die Menge
M={z element C | |z|>=1,|Rez|=0}
abgeschlossen? Warum?
Die Menge ist also abgschlossen.
ich hab ein kleines Verständnisproblem: die Fläche auf der komplexen Zahlenebene, die diese Menge repräsenteiert ist nämlich nicht beschränkt, da der Imaginärteil jeden beliebig großen Wert annehmen kann. Es fehlt quasi der „obere Rand“.
Folglich ist doch die Menge nach „oben“ offen und damit nicht abgeschlossen oder nicht?
Gruß
Oliver
Eine Menge, die abgeschlossen und beschränkt ist, heißt kompakt.
Fuer Abgeschlossenheit ist Beschränktheit nicht notwendig.
So z.B. sind die Komplexen Zahlen als solche abgeschlossen (und offen gleichzeitig).
In diesem Fall liegt natuerlich die von der Metrik induzierte Topologie vor. Wenn Du allgemeine Topologie betreibst kannst Du im Rahmen der paar Axiome (fast) beliebige Mengen als
offen oder abgeschlossen bezeichnen.
MFG
martin
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Unterschied zu den reellen Zahlen?
Erst mal Danke für deine Antworten!!
So z.B. sind die Komplexen Zahlen als solche abgeschlossen
(und offen gleichzeitig).
Wie geht das denn? offen UND abgeschlossen?
Aber wieso ist denn zum Beispiel:
die Menge {x el. R ||x|>=2} offen und
die Menge {z el. C ||Rez|=0} abgeschlossen?
In diesem Fall liegt natuerlich die von der Metrik induzierte
Topologie vor.
Ich kenn mich leider nur in der von der Norm induzierten Topologie aus… ist das im Prinzip nicht das selbe?
OLIVER
(z.Z verwirrt)
Erst mal Danke für deine Antworten!!
So z.B. sind die Komplexen Zahlen als solche abgeschlossen
(und offen gleichzeitig).Wie geht das denn? offen UND abgeschlossen?
Jeweils die Leere Menge und der ganze Raum sind offen und abgeschlossen.
Sie erfuellen beide Bedingungen.
jeder Haeufungspunkt gehoert dazu
und
jeder Punkt, der drin ist, hat eine offene Umgebung, die auch drin ist.
Aber wieso ist denn zum Beispiel:
die Menge {x el. R ||x|>=2} offen und
Diese Menge ist auch abgeschlossen.
{x el. R ||x|>2} ist offen.
Offenbar gehort x=2 zur Menge, hat aber keine Umgebung, die
auch dazu gehoert, kann also nicht offen sein.
die Menge {z el. C ||Rez|=0} abgeschlossen?
In diesem Fall liegt natuerlich die von der Metrik induzierte
Topologie vor.Ich kenn mich leider nur in der von der Norm induzierten
Topologie aus… ist das im Prinzip nicht das selbe?
Ist im Prinzip das selbe.
MFG
Martin
eine letzte Frage
… ich dachte immer eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre
Randpunkte enthält. Nun gibt es aber in der von mir beschriebenen Menge
„nach oben“ keinen Rand…also hätte ich gesagt, daß die Menge offen ist.
Was ist denn daran falsch??
Gruß
Oliver
… ich dachte immer eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie
alle ihre
Randpunkte enthält. Nun gibt es aber in der von mir
beschriebenen Menge
„nach oben“ keinen Rand…also hätte ich gesagt, daß die
Menge offen ist.Was ist denn daran falsch?
Wenn wir mal der Anschaulichkeit halber „Randpunkte“ statt
Haeufungspunkte sagen, was bei „nett“ berandeten Mengen auf das
gleiche hinauslaeuft, so ist deine Definition „richtig“ und die
beschriebene Menge ist abgeschlossen.
Sie enthaelt alle ihre Randpunkte heisst, dass fuer jeden Randpunkt gilt, dass er drin ist. Wo kein Rand ist, kann also kein Problem sein.
Der Witz liegt in den Eigenschaften der leeren Menge (also der
Menge, die alle Punkte des „oberen“ Randes enthaelt).
So z.B. sind auch Aussagen wie „fuer alle Elemente x der leeren Menge (naemlich gar keine) gilt, dass |x|5“ richtig.
Fuer die
Elemente der Leeren Menge (formal gesehen) sind alle Aussagen wahr.
MFG
Martin
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vielen Dank für die Hilfe (o.T)
…