Kleine Frage zu unendlichen Mengen

Wissenschaft Physik
1

Hallo Leute

Ich bin KEIN Mathematiker - also meine möglicherweise fehlerhafte Ausdrucksweise gleich mal entschuldigen.

Hatte eben mit einem Kollegen eine kleine Diskussion bei der es u.a. auch um Unendlichkeit ging (OK, die Diskussion war nicht sehr ernsthaft geführt). Darunter ging es u.a. auch darum, dass prinzipiell gilt:

unendlich + 1 = unendlich
unendlich + x = unendlich
unendlich + unendlich = unendlich

zumindest habe ich mal einen Artikel gelesen, der zu diesem Schluss kommt.

Die Frage wäre nun:

unendlich - unendlich = ??

Ich habe also eine Menge mit unendlich vielen Elementen und ziehe unendlich viele Elemente ab. Wie gross ist die Ergebnissmenge.

Der Hausverstand sagt natürlich 0. Wenn aber unendlich + unendlich = unendlich gilt, dann müsste der Umkehrschluss unendlich - unendlich = unendlich auch gelten.

Mir ist schon klar, dass man mit normalen Hausverstand der Unendlichkeit nicht beizukommen ist. Aber das Ergebnis auf obige Frage müsste ja irgendwie definiert sein - oder?

lg
Erwin

2

Hallo,

unendlich + 1 = unendlich
unendlich + x = unendlich
unendlich + unendlich = unendlich

Dabei muss man dazusagen, dass diese Schreibweise nur begrenzt gültig ist - man kann mit „unendlich“ nicht wie mit einer normalen Variable rechnen.

zumindest habe ich mal einen Artikel gelesen, der zu diesem
Schluss kommt.

Die Frage wäre nun:

unendlich - unendlich = ??

Das Ergebnis ist im Allgemeinen nicht definiert.

Der Hausverstand sagt natürlich 0. Wenn aber unendlich +
unendlich = unendlich gilt, dann müsste der Umkehrschluss
unendlich - unendlich = unendlich auch gelten.

Ich möchte ein kleines Gegenbeispiel nennen, das zeigt, warum man unendlich - unendlich nicht sinnvoll definieren kann:

sei N = die Menge der natürlichen Zahlen
und
sei Q = die Menge der natürlichen Zahlen, die auch Quadratzahlen sind.

Sofort ist jedem klar, dass beide Mengen unendlich groß sind, also
|N| = unendl. und |Q| = unendl.

Auch |N - Q| = unendl, da es auch unendliche viele natürliche Zahlen gibt, die keine Quadratzahlen sind.

So, wenn du jetzt aber |N| - |Q| rechnest, würdest auf Null kommen. Warum? Weil es genauso viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen gibt!
Wer das nicht glaubt, muss sich nur mal diese Abbildung anschauen:

1 -> 1²
2 -> 2²
3 -> 3³
4 -> 4²
n -> n²

Das ist eine Bijektion, also gibt es es genauso viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen.

Also kommt man auf zwei verschiedenen Rechenwegen auf zwei völlig unterschiedliche Ergebnisse, die beide richtig sind.
Daraus folgt, dass man „unendl - unendl“ nicht sinnvoll definiern kann.

Grüße und schönes Wochenende,
Moritz

3

Hallo Erwin,

das zwei Paar Schuhe, die du diskutierst.
Unendliche Mengen, also Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten, müssen nicht „Unendlich“ als Wert enthalten. D.h. dass selbst bei unendlichen Mengen. i.a. die Rechenoperation mit Unendlich gar nicht definiert ist.

Der zweite Aspekt, den du ansprichst, bezieht sich auf dann wirklich auf dei „Größe“ der Mengen. Allerdings gibt es verschiedene Abstufungen von Unendlich, nämlich abzählbar und überabzählbar. Das erste bezieht sich darauf, dass es zwar unendlich viele Elemente gibt, aber diese auf die natürlichen Zahlen |N=(1,2,3,…) abgebildet werden können. z.B. ist (-1,-2,-3,…) genauso „groß“ (=gleichmächtig) zu |N, aber z.B. die Menge der reellen Zahlen |R nicht. |R ist noch größer und man bezeichnet diese als überabzälbar.

Wenn du jetzt unendlich viele Werte von einer Menge wegnimmst, kommt es darauf an, was für eine Menge das ist. schließt man von |R alle Elemente von |N aus, hat man einer unendlichen Menge unendlich viele abgezogen, aber es bleiben immer noch unendlich viele übrig.

„Unendlich“ ist also kein Wert im eigentlichen Sinne, denn selbst wenn du das Beispiel mit |N vollziehst kannst du einen verwirrenden Fall konstruieren:
Nehmen wir mal
unendlich + 1 = unendlich
als gegeben, dann gilt auch
unendlich - 1 = unendlich

Wenn man nun |N um eine Zahl verringert dann ist |N-1 immer noch unendlich. Zieht man aber nun |N-1 von |N ab dann ergibt sich
unendlich - (unendlich -1) = unendlich - unendlich
Setzt du nun unendlich - unendlich = 0 kommst du auf
1=0, was natürlich Quatsch ist.

Grüße,
JPL

4

hallo

danke mal für die antworten. mein denkfehler war, dass zwei unendlich grosse mengen sowohl eine unendlich grosse schnittmenge haben können und trotzdem auch unendlich viele elemente, die nur in jeweils einer menge vorkommen. insofern hat die frage ohne zusatzdefinition keinen sinn ergeben. auch darf man rechenoperationen nicht einfach auf mengen anwenden - ist mir auch klar.

gibt es in der „normalen“ arithmetik eigentlich den wert „unendlich“ - und kann man damit auch rechnen? kann man also einer variable x den wert unendlich zuweisen? ich kann mich dumpf an die schulzeit erinnern und an irgendwas mit „limes x gegen unendlich“ und so (echte mathematiker mögen mir verzeihen…).

ist aber letztendlich egal - die aussage „unendlich - unendlich ist nicht definiert“ reicht für den hausgebrauch völlig aus. bei „1/0“ hat man sich ja auch daran gewöhnt…

lg
erwin

5

Hi Erwin,

gibt es in der „normalen“ arithmetik eigentlich den wert
„unendlich“ - und kann man damit auch rechnen? kann man also
einer variable x den wert unendlich zuweisen?

nein, gibt es aus den genannten Gründen nicht.
Mann kann eine Menge und deren Rechenoperationen so erweitern, dass man mit unendlich rechnen kann, das hat aber für den Hausgebrauch keinen weiteren Nutzen.

ich kann mich
dumpf an die schulzeit erinnern und an irgendwas mit „limes x
gegen unendlich“ und so (echte mathematiker mögen mir
verzeihen…).

Das ist wiederum etwas anderes. Der Wert undendlich wird nicht als Wert angenommen, sondern dadurch ur ausgedrückt, dass das x immer größer wird. Stichwort Infenitesimalrechnung oder Grenzwertübergang.

Grüße,
JPL

6

Hallo Erwin!

unendlich - unendlich = ??

Nehmen wir an, ich kaufe unendlich viele Paar Schuhe und verschenke von jede Paar den linken, dann habe ich unendlich viele rechte Schuhe. Ich habe unendlich viele gekauft und unendlich viele verschenkt, und trotzdem bleiben unendlich viele übrig.

Oder ich kaufe unendlich viele Tomaten und vergesse sie im Laden, dann habe ich Null. Ich habe unendlich viele gekauft und unendlich viele vergessen, und habe null.

Wie erklärt sich dieser Widerspruch?

Und wenn ich nichts weiß, aber eins weiß ich:

Darüber kann man eine unendlich lange Diskussion führen.

Ob man „unendlich“ als Zahl ausdrücken kann? Nimm eine Eins, und schreibe unendlich viele Nullen dahinter.

Ist das dann noch eine „natürliche Zahl“?

Darüber kann man auch wieder „unendlich“ lange diskutieren.

Grüße

Andreas

7

Hallo Erwin,

Ich bin KEIN Mathematiker -

ich auch nicht, ich bin Chemiker :wink:

Also uns hat unser matheprof immer eingebläut, das Unendlich kein Wert, sondern eine Eigenschaft sei.
Und genauso wenig wie man blau - grün = null rechnen könne, kann man unendlich - unendlch rechen.

Zudem sei es eine notwendige Eigenschaft, daß man eine unendliche Menge in unendlich viele Teilmengen spalten könne, die untereinander keine Schnittmenge haben, die jede wieder unendlich wäre.

Irgendwann habe ich aufgehört, mir darüber Gedanken zu machen

Gandalf

PW
ein Matheprof hält eine Vorlesung vor sieben Studis. Acht gehen raus.
Denkt der Prof:
Wenn jetzt noch einer reinkommt, bin ich allein hier drin

8

hi,

unendlich + 1 = unendlich
unendlich + x = unendlich
unendlich + unendlich = unendlich

zumindest habe ich mal einen Artikel gelesen, der zu diesem
Schluss kommt.

Die Frage wäre nun:

unendlich - unendlich = ??

Ich habe also eine Menge mit unendlich vielen Elementen und
ziehe unendlich viele Elemente ab. Wie gross ist die
Ergebnissmenge.

mit unendlichkeiten gibts zunächst einmal ein missverständnis zu bereinigen: du sprichst von mengenoperationen. da muss man unterscheiden, dass es verschiedene „sorten“ von unendlichkeiten gibt.

tatsächlich läuft die „addition“ (als vereinigungsmengenbildung) auf jeden fall wieder auf unendlichkeiten hinaus.

wenn du aber aus einer unendlichen mengen unendlich viele objekte entfernst, können trotzdem unendlich viele übrig bleiben - je nachdem, WIE DU ENTFERNST.

nimmst du aus den natürlichen zahlen alle (unendlich vielen) quadratzahlen weg, bleiben unendlich viele zahlen übrig.

nimmst du aus einer „überabzählbar (unendlich)en“ menge z.b. abzählbar (unendlich) viele weg, bleiben auf jeden fall überabzählbar viele übrig. usw. usf.

du kannst aus jeder unendlichen menge durch konstruktion der menge aller teilmengen dieser menge eine neue „stufe“ an unendlichkeiten herstellen … obs zwischen abzählbar vielen (= so viele wie es natürliche zahlen gibt) und überabzählbar vielen (= so viele wie es reelle zahlen gibt) andere arten der unendlichkeit gibt, ist als „kontinuumshypothese“ lange ein ungelöstes problem der mathematik gewesen.

normalerweise bedueten deine gleichungen aber gleichungen für grenzwerte. „unendlich + unendlich = unendlich“ bedutet dann: wenn 2 folgen (oder funktionen) „gegen unendlich gehen“, dann geht auch ihre summe gegen unendlich.

„unendlich + x = unendlich“ bedeutet: geht eine folge gegen unendlich und eine andere gegen x, geht die summe gegen unendlich.

usw.

und auch hier ist „unendlich - unendlich“ nicht bestimmbar. so geht a(n) = n gegen unendlich, b(n) = n² ebenfalls, aber
c(n) = a(n) - b(n) geht gegen „minus unendlich“, während
d(n) = b(n) - a(n) gegen „plus unendlich“ geht.

das kann noch viel verwirrender werden.
betrachte die folgen a(n) und -a(n); also
a = 1, 2, 3, 4, 5, …
-a = -1, -2, -3, -4, …

jetzt kommts sehr drauf an, wie du die beiden addierst.

so z.b.:
1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + …

klammerst du so:
(1 + (-1)) + (2 + (-2)) + (3 + (-3)) + …
geht das genze gegen 0

klammerst du anders, z.b. so:
1 + ((-1) + 2) + ((-2) + 3) + (-3) + …
geht das ganze plötzlich gegen plus unendlich.

je nach klammerung kannst du fast beliebige „grenzwerte“ (die exakt keine sind) konstruieren.

deswegen ist die sprechweise „unendlich - unendlich“ unbestimmt, oder unbestimmbar. während die anderen mit sinn versehen werden können.

hth
m
sieht aus, als obs gegen 0 geht.
rechnest du aber so:

9

Lieber Kollege,

betrachte die folgen a(n) und -a(n); also
a = 1, 2, 3, 4, 5, …
-a = -1, -2, -3, -4, …

jetzt kommts sehr drauf an, wie du die beiden addierst.

so z.b.:
1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + …

klammerst du so:
(1 + (-1)) + (2 + (-2)) + (3 + (-3)) + …
geht das genze gegen 0

klammerst du anders, z.b. so:
1 + ((-1) + 2) + ((-2) + 3) + (-3) + …
geht das ganze plötzlich gegen plus unendlich.

je nach klammerung kannst du fast beliebige „grenzwerte“ (die
exakt keine sind) konstruieren.

nach dem Assoziativegesetz heben sich stets alle Summanden deiner ersten beiden „verschiedenen“ Gleichungen auf und es kommt immer 0 raus. Bei der dritten klammerst du nicht die Differenz von a und -a anders, sondern du verwendest eine andere Verrechung, nämlich:
sei a_0 = 0, dann ist b_n = -a_(n-1) + a_n.

Grüße,
JPL

10

hi,

nach dem Assoziativegesetz heben sich stets alle Summanden
deiner ersten beiden „verschiedenen“ Gleichungen auf und es
kommt immer 0 raus.

assoziativgesetz gilt eben nur für endliche summen.
m.

11

hi

nach dem Assoziativegesetz heben sich stets alle Summanden
deiner ersten beiden „verschiedenen“ Gleichungen auf und es
kommt immer 0 raus.

assoziativgesetz gilt eben nur für endliche summen.

nö. Die Reihe über b_n = a_n - a_n ist die Reihe über die Nullfolge und damit konvergent. Konvergente Reihen sind aber invariant gegenüber interner Beklammerung - deswegen kommt bei deinem ersten und zweiten Beispiel auch dasselbe heraus.

In deinem ditten Fall bildest du b_n anders und folgerst daraus, dass man die Grezwerte der Reihen nicht einfach verrechnen darf. Das ist auch völlig korrekt, denn die Summe von Reihengrezwerten ist nur dann definiert, wenn die Reihengrezwerte selber definiert (also endlich) sind.

Deine Beispiele sind nicht falsch, aber du betrachtest unterschiedliche Folgen, die natürlich andere Grenzwerte ergeben. Insbeosndere bei divergenten Folgen lässt sich da viel durch andere Vorschriften machen, das als „anders klammern“ zu beschreiben war nur etwas unglücklich.

Grüße,
JPL

12

Hallo,

Deine Beispiele sind nicht falsch, aber du betrachtest
unterschiedliche Folgen,

hier ein Auszug aus michaels vor-vorangegangenem Posting:

so z.b.:
1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + …

klammerst du so:
(1 + (-1)) + (2 + (-2)) + (3 + (-3)) + …
geht das genze gegen 0

klammerst du anders, z.b. so:
1 + ((-1) + 2) + ((-2) + 3) + (-3) + …
geht das ganze plötzlich gegen plus unendlich.

Ich sehe da immer dieselbe Folge, nämlich 1, –1, 2, –2, 3, –3, … Das ist doch auch gerade der Witz: Eine Folge, aber der Wert der zugehörigen Reihe ist nicht eindeutig bestimmt, sondern hängt von der Art der Summenbildung ab. Nur bei absolut konvergenten Reihen ist die „Klammerung“ egal.

Insbeosndere bei divergenten Folgen

Sogar mit konvergenten Folgen, solange sie nicht absolut konvergent sind.

Gruß
Martin

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Hallo,

Deine Beispiele sind nicht falsch, aber du betrachtest
unterschiedliche Folgen,

hier ein Auszug aus michaels vor-vorangegangenem Posting:

so z.b.:
1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + …

klammerst du so:
(1 + (-1)) + (2 + (-2)) + (3 + (-3)) + …
geht das genze gegen 0

klammerst du anders, z.b. so:
1 + ((-1) + 2) + ((-2) + 3) + (-3) + …
geht das ganze plötzlich gegen plus unendlich.

Ich sehe da immer dieselbe Folge, nämlich 1, –1, 2, –2, 3, –3,

angefangen hat er mit zwei folgen:
a_n und -a_n, beide offensichtlich divergent und deswegen ist auch die Reihe S(a_n) und S(-a_n) divergent. Logisch, dass dann keine Aussage über S(a_n - a_n) via S(a_n) - S(a_n) gemacht werden kann.
Von daher bleibt nur, sich die Folge b_n = a_n - a_n anzusehen. Praktischerweise ist diese für alle n 0, also folgt S(b_n) = 0.
Durch die andere „Klammerung“ entsteht aber eine andere Folge, nämlich
c_n = a_n - a_(n-1) (mit a_0 = 0 angenommen).
c_n ist offensichtlich nicht konvergent, also S(c_n) auch nicht.
Ebenso klar ist, dass b_n ungleich c_n ist, somit liegt nicht eine Folge mit zwei verscheidenen Reihengrenzwerten vor sondern eben zwei.
Wie gesagt, das Beispiel ist nicht falsch und es verdeutlich auch, dass es einen Unterschied macht, wie man die Folgen bildet, es sollte nur klar werden, dass es zwei verschiedene folgen sind.

Grüße,
JPL