Ich hätte folgende Frage zum Zusammenhang zw. einer Fouriertransformation und einer inversen Fouriertransformation:
Angenommen man hat gegeben f(x)= 1- abs(x) für abs(x)1 und nun soll einmal die Fouriertransformation und die inverse Fouriertransformation der Funktion berechnet werden.
Dazu weiss ich, dass eine Fouriertransformation definiert ist als:
F(y)= ((2*pi)^-.5)* Integral(von -Unendlich bis Unendlich)
von f(x)*e^(iyx)dx
Für die inverse Fouriertransformation gilt wieder:
f(x)= ((2*pi)^-.5)* Integral(von -Unendlich bis Unendlich)
von F(y)*e^(-iyx)dy
Jetzt bin verwirrt, weil doch wenn ich f(x) einsetze und dann die Fouriertransformation F(y) erhalte, die inverse Fouriertransformation wieder die von mir angegebene Fuktion ist, oder?
In einem Buch habe ich aber den Hinweis gefunden, dass die inverse Fouriertransformation teilweise identisch ist mit der Fouriertransformation. Deshalb kann ich mir auch vorstellen, dass man die von mir oben erwähnte Funktion f(x) in beide Ausdrücke einsetzt, einmal als f(x) und einmal als F(y) und dann einfach integriert wird einmal nach x und im anderen Fall nach y und so die beiden Fouriertransformationen erhält?
Was ist richtig?
Ich wäre um Hilfe sehr dankbar!
Stefan
Hallo,
ich hoffe, ich bekomme von den Mathematikern nicht wieder Haue, aber:
Dazu weiss ich, dass eine Fouriertransformation definiert ist
als:
F(y)= ((2*pi)^-.5)* Integral(von -Unendlich bis Unendlich)
von f(x)*e^(iyx)dx
Für die inverse Fouriertransformation gilt wieder:
f(x)= ((2*pi)^-.5)* Integral(von -Unendlich bis Unendlich)
von F(y)*e^(-iyx)dy
Diese Definitionen mit \frac{1}{\sqrt{2\pi}} als Faktor ist nicht wirklich gut, weil dadurch der Mittelwert
f(0) = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t)
verfälscht wird. Besser nutzt Du die asymmetrische Definition
Hintransformation: F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) \exp(-j\omega t)
Rücktransformation: f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\omega F(\omega) \exp(+j\omega t)
oder aber setzt anstelle der Kreisfrequenz \omega lieber die Frequenz f ein, was zu einer echten Symmetrie führt:
Hintransformation: F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} dt f(t) \exp(-2\pi j f t)
Rücktransformation: f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} df F(f) \exp(+2\pi j f t)
Hier hast Du aber einen Haufen 2\pi im Exponenten rumnerven.
Jetzt bin verwirrt, weil doch wenn ich f(x) einsetze und dann
die Fouriertransformation F(y) erhalte, die inverse
Fouriertransformation wieder die von mir angegebene Fuktion
ist, oder?
Ganz genau, das ist ja auch der Sinn des ganzen.
In einem Buch habe ich aber den Hinweis gefunden, dass die
inverse Fouriertransformation teilweise identisch ist mit der
Fouriertransformation.
Nein. In der Regel sind diese verschieden. Siehe das kleine Vorzeichen im Exponenten.
Ich würde es als Übung betrachten, dass die inverse Fouriertransformation einer Fouriertransformierten wieder die Ausgangsfunktion ergibt.
Ansonsten würde ich mich eher über mit den Ergebnissen der Transformation (Spektral-Darstellung, bzw. Lösung von DGL im Zeitbereich durch Multiplikation im Frequenzbereich etc.) und ein paar dazugehörigen Sätzen vertraut machen (Verschiebungssatz, Skalierungssatz, etc.)
Dazu noch die allseits beliebte Faltung und die \delta Distribution und Du hast ein ganz hübsches Werkzeug in den Händen.
Wenn Du Dich etwas genauer aber dennoch unterhaltsam mit der Materie vertraut machen möchtest, kann ich Dir das Büchlein „Fouriertransformation für Fußgänger“ von Tilman Butz empfehlen. Lieder im Buchhandel bereits vergriffen, sollte es dennoch in jeder guten Bibliothek vorhanden sein.
Gruß
Fritze