Kniffliger als gedacht - Stochastikaufgabe

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

folgend erst die Aufgabenstellung, dann der Lösungsansatz:

„Die Chance auf einen Hauptgewinn („Sechs Richtige“) ist beim Lotto „6 aus 49“ sehr gering. Bei einer Adventsfeier spielen 245 Angestellte einer Firma nach dem gleichen Prinzip „3 aus 24“. Wer die drei Zahlen aus 1 bis 24 richtig tippt, soll eine Weihnachtsgans geschenkt bekommen. Die Firma hat aber dummerweise nur eine Gans eingekauft. Wie groß ist die Gefahr, dass mehr als einer drei Richtige hat?“

P(mehr als einer)= 1- P(einer oder keiner)

Wahrscheinlichkeit, dass einer richtig tippt: (3/24)x(2/23)x(1/22) = 0,0005
Wahrscheinlichkeit, dass einer richtig tippt: 1-0,0005 = 0,9995

Wahrscheinlichkeit, dass keiner aus 245 richtig tippt: 0,9995^245 (=P(keiner))
Wahrscheinlichkeit, dass einer aus 245 richtig tippt: 0,0005x0,9995^244 (=P(einer))

=> P = 1 - 0,9995^245 - 0,0005x0,9995^244 = 0,11 = 11%

Nun steht aber in den Lösungen 70%, 7%, 0,7% und 0,07% zur Auswahl.
Wo liegt der fehler :wink:?

Danke, Juli

#2

Hallo,

dafür braucht man die Binomialverteilung. Es geht aber auch „zu Fuß“:

p ist die W., dass einer richtig tippt. Das ist p = 1/2024.

Jetzt berechnen wir die W., dass genau 2 richtig getippt haben. Das ist auf den ersten Blick

p2(1-p)243

Stimmt aber noch nicht ganz. Es ist nämlich egal, welche konkreten Leute nun richtig getippt haben. Es gibt dafür so viele Möglichkeiten, wie bei einer Ziehung „2 aus 245“, also (245 über 2). Insgesamt beträgt die W. für genau 2 Treffer also

(245 über 2) p2(1-p)243 = 0,647%

Die W. für genau 3 Treffer ist dann

(245 über 3) p3(1-p)242 = 0,026%

Jetzt müsste man noch die W. für 4 Treffer usw. berechnen, die sind aber so klein, dass man sie vergessen kann. Die Summe aus den beiden Ergebnissen ergibt etwa 0,7%.

Ganz genau bekommt man es übrigens mit der kumulierten Binomialverteilung raus, dafür gibt es Tabellen (n=245, k=2, p=1/2024).

Gruß
Olaf

#3

Hallo,

P(einer) ist nicht 0,0005x0,9995^244 sondern 245x 0,0005x0,9995^244.

1 – (1 – p)245 – 245 p (1 – p)244 hat für p = 1/2024 den Wert 0.0067377… also etwa 0.7 %.

Gruß
Martin

#4

P(einer) ist nicht 0,0005x0,9995^244 sondern
245x 0,0005x0,9995^244.

Warum :smiley:?

#5

Weil Herr Bernoulli sagt: (n über k) pk (1 – p)n–k

Deine fehlenden 245 ist der Binomialkoeffizient (n über k) für n = 245 und k = 1.

pk (1 – p)n–k ist die Wsk, dass ein bestimmter MA richtig getippt hat und kein anderer. In Deine Formel gehört aber die Wsk, dass irgendeiner der 245 MA richtig getippt hat und kein anderer. Sie ist natürlich 245 mal größer.

Im Fall „kein MA hat richtig getippt“ machst Du keinen Fehler, weil (n über k) gleich Eins ist für k = 0.