meine kleine Cousine (6. Klasse) hat mich gebeten Ihr bei einer Knobelaufgabe aus dem Matheunterricht zu helfen und ich komme nicht auf die Lösung, also helft mir bitte:
9 Punkte und 9 Strecken sollen so in die Ebene gezeichnet werden, dass gilt:
Jeder Punkt liegt auf drei dieser Strecken und jede Strecke verläuft durch drei dieser Punkte. Fertige eine Zeichnung an, in der diese Bedingungen erfüllt sind.
Ich vermute, dass sich die Lösung aus Standardfiguren zusammensetzt. Schade, dass man nur den R² verwenden darf…
9 Punkte und 9 Strecken sollen so in die Ebene gezeichnet
werden, dass gilt:
Jeder Punkt liegt auf drei dieser Strecken(1) und jede Strecke
verläuft durch drei dieser Punkte(2). Fertige eine Zeichnung an,
in der diese Bedingungen erfüllt sind.
An den Ecken und in der Mitte wird die Bedingung (2) verletzt
da werden wesentlich beide bedingungen mehrfach verletzt…
erstens sehe ich nur 6 strecken - es sei denn, wir nehmen entweder die waag- oder die senkrechten strecken als jeweils 2. dann hätten diese aber jeweils nur 2 punkte.
zweitens sind in keinem punkt 3 strecken zu finden… überall nur genau 2 (je eine waag- und eine senkrechte). es sei denn, die strecken gehen nicht durch die punkt durch, sondern hören jeweils dort auf… dann hätten wir aber 12 strecken, und alle mit nur jeweils 2 punkten…
Ich hätte noch was: Zwei Geraden schneiden sich, ein Punkt P liege auf keiner der Geraden. Wie konstruiert man die Mittelpunkte zweier Kreise, welche erstens beide Geraden berühren und durch P gehen? Nur Konstruktion – keine Berechnung!
Ich hätte noch was: Zwei Geraden schneiden sich, ein Punkt P
liege auf keiner der Geraden. Wie konstruiert man die
Mittelpunkte zweier Kreise, welche erstens beide Geraden
berühren und durch P gehen? Nur Konstruktion – keine
Berechnung!
das ist ein bißchen schwieriger, muß ich mir erst durch den kopf gehen lassen
aus der graphik ist meines erachtens nicht ersichtlich (zumindest nicht auf den ersten blick), wie du die beiden kleinen kreise innerhalb der kreise A und B konstruierst, aber ohne sie kann man die großen eben auch nicht konstruieren…
außerdem liegt dein punkt auf der winkelhalbierenden, das ist wohl ein glücklicher spezialfall der angabe, der punkt dürfte überall (außer auf einer der beiden geraden) liegen können.
Hallo erstmal,
meine Konstruktion der Winkelhalbierenden ist unnötig,
da, wenn die beiden Kreise jede der Geraden und zudem noch den Punkt P berühren , der Schnittpunkt der Geraden verbunden mit Punkt P immer die Winkelhalbierende vom Winkel der sich schneidenden Geraden ergibt.
Auf dieser Winkelhalbierenden liegt der Mittpunkt beider Kreise.
Nun bei jedem Kreis zwei weitere Kreise gezogen ( Mittelpunkte sind der Schnittpunkt Kreis A bzw. Kreis B mit Winkelhalbierender).
Die Schnittpunkte der entstandenen Kreise verbunden ergeben im Schnitt mit der Winkelhalbierenden den Mittelpunkt.
Gruß.Timo
aus der graphik ist meines erachtens nicht ersichtlich
(zumindest nicht auf den ersten blick), wie du die beiden
kleinen kreise innerhalb der kreise A und B konstruierst, aber
ohne sie kann man die großen eben auch nicht konstruieren…
außerdem liegt dein punkt auf der winkelhalbierenden, das ist
wohl ein glücklicher spezialfall der angabe, der punkt dürfte
überall (außer auf einer der beiden geraden) liegen können.
ich habe Deine Konstruktion nicht ganz verstanden, wenn ich ehrlich bin. Aber man muss sich den Punkt P auch nicht auf der Winkelhalbierenden liegend vorstellen, sondern irgendwo anders. Dann ergeben sich zwei Kreise, die sich nicht nur berühren, sondern schneiden.
da, wenn die beiden Kreise jede der Geraden und zudem noch den
Punkt P berühren , der Schnittpunkt der Geraden verbunden mit
Punkt P immer die Winkelhalbierende vom Winkel der sich
schneidenden Geraden ergibt.
Nein, das gilt nicht für den allgemeinen Fall.
Auf dieser Winkelhalbierenden liegt der Mittpunkt beider
Kreise.
Diese Annahme ist ohne weiteren Beweis anschaulich richtig.
abgesehen davon, daß der Punkt nicht auf der Winkelhalbierenden liegen muß: Ich sehe nicht, wie du zu den kleinen Kreispaaren kommst, aus denen du die gesuchten Berührkreise konstruierst …
klar, daß die (beiden) Tangentialkreise auf der Winkelhalbierenden der Geraden g1 und g2 liegen, und die Mittelpunkte M und M’ in dem Quadranten, in dem auch der Punkt P liegt.
Seien die Tangentialpunkte T1 und T2 (resp. T’1 und T’2 ).
Dann folgt aus
s( M , T1 ) = s( M , P ) und
s( M , T2 ) = s( M , P )
daß M der Schnittpunkt der beiden Parabeln ist, die P mit g1 und g2 bildet, und deren Brennpunkt P ist. Dasselbe gilt für den zweiten Tangentialkreis mit M’ für den zweiten Parabelschnittpunkt.
Daraus würde auch für die analytische Lösung der Rechenenweg folgen.
Falls Parabelkonstruktion zu den in deiner Aufgabe zulässigen geometrischen Verfahren gehört, ist das eine Lösung. Aber mir schwant, daß aus der Parabelbedingung noch eine einfachere Konstruktion folgt - nur find ich sie noch nicht.
Daraus würde auch für die analytische Lösung der Rechenenweg
folgen.
Falls Parabelkonstruktion zu den in deiner Aufgabe zulässigen
geometrischen Verfahren gehört, ist das eine Lösung. Aber mir
schwant, daß aus der Parabelbedingung noch eine einfachere
Konstruktion folgt - nur find ich sie noch nicht.
Eigentlich sind nur Zirkel und Lineal erlaubt, denn der Lösungsweg per Konstruktion ist ja auch recht einfach. Ich habe auch ein paar Stunden gebraucht, um meine Blockaden abzubauen, die diesen anschaulichen Lösungsweg verhindern.
Ich will Euch aber noch ein bisschen zappeln lassen…
ist meiner Meinung nach aber auch für 6. Klasse ziemlich
starker Tobak, oder ?
naja, das ist ansichtssache… wenn es wirklich nur als knobelaufgabe für die fleißigen deklariert war, sprich nicht von allen gelöst werden mußte und nicht beurteilt wurde, find ichs eigentlich angebracht. ich habe auch gern während fader mathestunden zusätzliche knobelaufgaben gelöst, nur so konnten mich meine lehrer davon abhalten, den unterricht zu stören
neuer Versuch
Hi zusammen,
Ich hatte es so verstanden, dass beide Kreise beide Geraden berühren und zudem sich beide Kreise nur in einem Punkt P treffen - mein Fehler.
Da wir uns einig sind, dass die Mittelpunkte der Kreise auf der Winkelhalbierenden liegen müssen, konstruieren wir diese zunächst:
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden einen Kreis gezogen.
Dieser schneidet jede Gerade in einem Punkt oberhalb der Schnittpunkts der Geraden.
Um diese Punkte jeweils einen Kreis ziehen (Durchmesser so gross, dass sich beide Kreise schneiden).
Schnittpunk(e) der Kreise verbunden mit dem Schnittpunkt der beiden Geraden ergeben die Winkelhalbierende.
Es gibt bei jedem der beiden ursprünglichen Kreise ( nennen wir sie A und B) zwei Schnittpunkte mit der Winkelhalbierenden.
Um diese Punkte ziehen wir einen Kreis ( also insgesamt 4 Kreise–wenn beide Kreise (A und B) sich in nur einem Punkt schneiden, sind es nur 3 Kreise.
Die Schnittpunkte beider Kreispaare verbunden schneiden die Winkelhalbierende im Mittelpunkt von Kreis A bzw. B.
Gruß.Timo
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Es sei S der Schnittpunkt der beiden Geraden, P der beliebige Punkt (nicht auf den Geraden, nicht auf der Winkelhalbierenden, aber innerhalb der mit spitzem Winkel von den Geraden begrenzten Ebene).
Man konstruiere einen beliebigen Kreis mit Mittelpunkt M*, der beide Geraden berührt (ich schenke mir die Beschreibung, da trivial).
Die Gerade PS schneidet diesen Kreis in zwei Punkten, P* und P**. Es entstehen zwei Radien, M*P* und M*P**. Die Parallelen zu diesen Radien durch P (Konstruktionsbschreibung schenke ich mir wieder) schneiden die Winkelhalbierende der beiden geg. Geraden in den gesuchten Kreismittelpunkten.
Spätestens nach dem Einzeichnen der Geraden PS und eines beliebigen die Geraden berührenden Kreises wird klar, dass die Konstruktion durch zentrische Streckung bzw. Stauchung erfolgt.
