Knobelaufgabe mit 3 Unbekannten

Wissenschaft Physik
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Hallo Experten,

Kind 5. Klasse hat vom Aushilfslehrer Knobelaufgaben über die Ferien mit bekommen. Wir haben schon alle bis auf eine, für die vorletzte haben wir eine Excel Tabelle gemacht um auch die verschieden richtigen Lösungen rauszufinden. Klar war das vom Lehrer so nicht gedacht, dennoch überlege ich jetzt, wie ginge das in Excel. Also:

(xy+z):x+z=X1

Wobei x, y und z jeweils unterschiedliche einstellige ganze Zahlen sein müssen und das Ergebnis X1 bedeutet, es ist eine zweistellige Zahl, die an der Einerstelle eine Eins hat. Im Rechenblatt ist das ganze bildlich mit Platzhaltern dargestellt.

Bin gespannt.

Lieben Dank und ein schönes Wochenende

Claudia

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Lösung
Hallo Claudia

wie ginge das in Excel.

Ich würde das mittels VBA lösen…

(xy+z):x+z=X1

Zuerst mal die Funktion ein klein wenig anpassen:

Statt X1 schreibe ich 10w + 1 , also:

(x * y + z) / x + z = 10 * w + 1

Wobei x, y und z jeweils unterschiedliche einstellige ganze
Zahlen sein müssen

Der Einfachheit halber nehme ich an: einstellige ganze Zahlen > 0.

Dann ergibt folgende Funktion:

Function X1()
Dim x As Integer, y As Integer, z As Integer, w As Integer

Debug.Print " x", " y", " z", " X1"

For x = 1 To 9
 For y = 1 To 9
 For z = 1 To 9
 For w = 1 To 9
 If (x \* y + z) / x + z = 10 \* w + 1 Then
 Debug.Print x, y, z, 10 \* w + 1
 End If
 Next w
 Next z
 Next y
Next x

End Function

dieses Ergebnis:

 **x y z X1**
 1 1 5 11
 1 3 4 11
 1 3 9 21
 1 5 3 11
 1 5 8 21
 1 7 2 11
 1 7 7 21
 1 9 1 11
 1 9 6 21
 2 2 6 11
 2 5 4 11
 2 8 2 11
 2 9 8 21
 3 3 6 11
 3 7 3 11
 3 9 9 21
 4 1 8 11
 4 6 4 11
 5 5 5 11
 6 4 6 11
 7 3 7 11
 8 2 8 11
 9 1 9 11

Gruss
Peter

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Hallo,

das es hier um 5. Klasse geht, wird kein exakter math.
Lösungsweg gesucht sein. Statt dessen wird man durch
Überlegen eine eingeschränkte Auswahl an mögl. Ziffern
für x,y,z finden und dann durch einfaches Probieren dieser
Möglichkeiten zur entgültigen Lösung kommen:

(xy+z):x+z=X1
Wobei x, y und z jeweils unterschiedliche einstellige ganze
Zahlen sein müssen und das Ergebnis X1 bedeutet, es ist eine
zweistellige Zahl, die an der Einerstelle eine Eins hat.

Das sollte man evtl. etwas umstallen, damit man besser
erkennen kann, worum es geht:

(xy+z):x + z = xy/x + z/x + z
(da kann man nun im 1.Ausdruck x kürzen)

-> umgestellt ergibt sich: y + z/x + z = X1
-> noch etwas schöner : y + z + z/x = X1

So, nun kommen ein paar Überlegungen:

1) x,y,z einstellig -\> X1 hat nur 2 Möglichkeiten (11 und 21)
 größere Zahlen sind überhaupt nicht möglich.
2) Da x,y,z ganzzahlig sein müssen, muß z/x auch ganzzahlig
 sein (da gibts nur noch sehr begrenzte Zahl von Mögl.)
3) x kann nur 1,2,3,4 sein, größere x können erfüllen nicht
 die bedingung z/x - ganzzahlig.
4) x = 0 wäre noch denkbar, aber z/0 ist ja verboten!

Nun probieren:
a) mit x=1 ergibt sich 
 für y + z + z = 11 
 -\> dann z = 2,3,4 -\> y bis 11 ergänzen (3 Möglichkeiten) 
 z = 5 geht nicht, weil dann y = x sein müßte. 

 für y + z + z = 21 
 -\> dann z = ....... (3 Möglichkeiten)

b) mit x=2 -\> z = 4,6,8 möglich, weil z/x - ganzzahlig

c) mit x=3 -\> z/x - ganzzahlig -\> z = 6,9 möglich 

d) mit x=4 -\> z = 8 möglich

Ich komme am Ende auf 9 Möglichkeiten, falls ich mich
nicht vertan habe.
Ich habe aber nur mal die ersten 3 Lösungen stehen lassen,
schließlich sollt Ihr ja auch noch bischen Denken.
Gruß Uwi

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(xy+z):x+z=X1
Wobei x, y und z jeweils unterschiedliche einstellige ganze
Zahlen sein müssen und das Ergebnis X1 bedeutet, es ist eine
zweistellige Zahl, die an der Einerstelle eine Eins hat. Im
Rechenblatt ist das ganze bildlich mit Platzhaltern
dargestellt.

Hallo Claudia,

hier nun die richtige Lösung, bzw. die drei Lösungen:

Da x,y und z Platzhalter sein sollen, steht xy wohl für eine zweistellige Zahl, die an der Zehnerstelle x und an der Einserstelle eine y hat, analog zum obigen Fall für x1.

Somit kann man die Formel umschreiben in:
(10x + y + z):x + z = 10x + 1

oder gekürzt:
10 + (y + z):x + z = 10x + 1

In dieser Form erkennt man schnell, dass x = 2 sei muss.
Warum ?
a) x kann nicht 1 sein, weil dann auf der rechten Seite 11 stehen würde, auf der linken Seite aber sicherlich (10+z) eine grössere Zahl.
b) x kann nicht 3 sein, weil dann auf der rechten Seite 31 stehen würde, auf der linken Seite aber eine kleinere Zahl, da 10+(y+z):3+z maximal 10+(8+7):3+9=10+5+9=24 werden kann.
c) x kann nicht grosser als 3 sein, weil dann die rechte Seite 41 oder groesser werden würde, die linke Seite aber kleiner als 24 wäre.

Mit x=2 ergibt sich nun:
10 + (y + z):2 + z = 21

Die 10 auf die rechte Seite bringt:
(y + z):2 + z = 11

Beide Seiten mal 2 bringt:
y + z + 2*z = 22

Die zs addieren und y auf die rechte Seite bringt:
3*z = 22 - y

Damit die rechte Seite durch 3 teilbar ist, muss y entweder 1,4 oder 7 sein.

Es ergibt sich dann:
a) 3*z = 21, also z=7, y=1 und x=2
b) 3*z = 18, also z=6, y=4 und x=2
c) 3*z = 15, also z=5, y=7 und x=2

Somit haben wir drei Lösungen gefunden:
a) (21 + 7):2 + 7 = 21
b) (24 + 6):2 + 6 = 21
c) (27 + 5):2 + 5 = 21

Gruß,
Heinz Gerald
([email protected])