Ko- und kontravariante Basis

Wissenschaft Physik
#1

Hallo!

Kann mir jemand eine anschauliche Erklärung für den Unterschied zwischen der kovarianten und der kontravarianten Basis erklären? Unterscheiden die sich nur im Betrag der Basisvektoren, oder auch in der Richtung?

Angenommen

g i

ist die kovariante Basis und

g j

die kontravariante Basis.

Bei der Herleitung über den Zusammenhang zwischen den Basissystemen wird nun vorausgesetzt, daß g 1 senkrecht auf g 2 und g 3 steht. Analog wird bei den anderen zwei Basisvektoren vorgegangen.

Als Ergebnis folgt für die kontravarianten Basisvektoren g j der Quotient von Kreuzprodukt der beiden übrigen kovarianten Basisvektoren und dem Spatprodukt aller kovarianten Basisvektoren.

Das bedeutet aber doch, daß jeder kontravariante Basisvektor in die gleiche Richtung wie der kovariante Basisvektor zeigt. Lediglich die Länge kann variieren, oder mache ich hier bereits einen Denkfehler?

Wenn nein, wozu dient dann überhaupt die Darstellung beider Basissysteme? Kennt jemand eine Seite, wo zusätzliche praktische Übungen zu finden sind? Die Quellen, die ich kenne, gehen nur auf die Herleitungen ein, enhalten aber keine anschaulicheren Beispiele.

Gruß

Michael

@Oliver: Du hast letztens hier so schön Integrale darstellen können :smile: Kannst du mir verraten, wie du das gemacht hast *neugierigsei*

#2

Kann mir jemand eine anschauliche Erklärung für den
Unterschied zwischen der kovarianten und der kontravarianten
Basis erklären?

Hallo Michael,

Die kontravariante Basis ist die Basis des betrachtetes Vektorraums V, die kovariante Basis ist die Basis (und jetzt kommts) des dazugehörigen Dualraums V*. Der Dualraum ist die Menge der linearen Abbildungen von V nach R.
Du hast es hier also grundsätzlich mit verschiedenen Räumen zu tun und damit natürlich auch mit verschiedenen Basen.

Die Quellen, die ich kenne,
gehen nur auf die Herleitungen ein, enhalten
aber keine
anschaulicheren Beispiele.

An Beispielen soll es nicht fehlen:

Sei V der Raum der Spaltenvektoren der Länge n. Dann ist der Dualraum V* der Raum der Zeilenvektoren. Die lineare Abbildung in R geschieht mit dem Matrixprodukt. Man berechnet den Skalar durch Matrixmultiplikation der Zeile mit der Spalte:

Zeile mal Spalte = Zahl

Übringens bedeutet gigj in deinem Beispiel auch nicht das Skalarprodukt, da im Skalarprodukt zwei Vektoren mit einander verknüpft hier werden, hier aber Vektor und Dualvektor!

Eine gute Einführung findest du hier:

http://www.icbm.de/~ebenhoeh/tens_k1.pdf

Und die folgenden also …/tens_k23.pdf und so weiter.

@Oliver: Du hast letztens hier so schön
Integrale darstellen
können :smile: Kannst du mir verraten, wie du das
gemacht hast?

Och, das geht ganz leicht, wenn man folgende Seite kennt:

http://de.selfhtml.org/html/referenz/zeichen.htm

Gruß
Oliver

#3

Hallo Oliver!

Danke für den Link, der ist viel besser als das, was ich bisher gefunden habe! Ist mir jetzt viel klarer geworden.

So, nochmal was ausprobieren…

∫ V ds , ∑ μ ∇ , ⊄, √(2) ,∞ , ∇ ⊗ V

…prima, klappt ja :smile:

Vielen Dank!

Michael