der Zusammenhang von ko- und kontravarianten Basissysztemen (wie man von einem in das andere wechselt) ist mir ungefähr klar. Der eine ist ein Tangentialraum (so hat es unser Professor bezeichnet) und der andere ein Gradientenraum. Die Vektorkomponenten/koordinaten in beiden Raeumen sind auch klar. Wozu braucht man dann Verknuepfungen von Tensoren (1. und höherer Stufe) aus den verschiedenen Raeumen
und wozu sind Tensoren höherer als 1. Stufe notwendig, für die Indizes aus beiden Vektorräumen vorkommen (gemischte Tensoren)?
Kann mich jemand von meiner Begriffsstutzigkeit befreien?
Liebe Gruesse
olaf
Der eine ist ein Tangentialraum (so hat es unser
Professor bezeichnet)
der Tangentialraum ist der Raum der Vektoren v , also anschaulich Richtungen oder Geschwindigkeiten.
Eine 1-Form ω ist eine lineare Abbildung von Vektoren auf den Grundkörper, d. i. auf einfache Zahlen. Auch die 1-Formen bilden einen Vektorraum, den Kotangentialraum.
Durch das Skalarprodukt kann man jedem Vektor v eindeutig eine 1-Form ωv zuordnen, nämlich durch explizite Angabe, wie die lineare Abbildung auf den Vektor w wirkt ωv : w → 〈 v ; w 〉
Man fängt daher schnell an zu schlampen, indem man die dualen Objekte mit den gleichen Symbolen bezeichnet und nur noch durch die Position des Koordinatenindex’ kennzeichnet, welches man denn meint.
wozu sind Tensoren höherer als 1. Stufe notwendig,
Nun, es gibt natürlich auch lineare Abbildungen mit mehr als einem Argument.
für die Indizes aus beiden Vektorräumen vorkommen (gemischte
Tensoren)?
Ein Beispiel für einen gemischten Tensor ist etwa der Riemann-Christoffel-Tensor oder Krümmungstensor R – oder in Koordinaten
Rαβγδ.
Dieser gibt die Abweichung des um einen geschlossenen Weg parallelverschobenen Vektors an.
In den linearen Operator stecken wir also den usprünglichen Vektor sowie die zwei Vektoren, die den geschlossenen Weg beschreiben, hinein. Die Koordinatendarstellung braucht also drei 1-Form-Indizes (untere Indizes) als „Andockstellen“ für unsere drei Vektoren.
Heraus kommt ein Vektor (die Differenz zwischen dem ursprünglichen Vektor und dem verschobenen) – es muss also ein Vektorindex (oberer Index) übrigbleiben.