Körper der reelen Zahlen

Wissenschaft Physik
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Sers

Ich geb ner Elftklässerin Nachhilfe in Mathe, jedoch gibt es jetzt ein Problem: Ihre Lehrerin will unbedingt komplexe Zahlen durchnehmen, was mir in der elften nicht „vergönnt“ war. Ich hab mir bereits das Buch komplexe Zahlen ausgeliehen, jedoch hab ich da noch so meine Probleme.

Diese Aufgabe hat zwar noch nichts mit komplexen Zahlen zu tun, jedoch hab ich noch AUfgaben dieser Art bearbeitet, so dass ich ein wenig ratlos bin. Die Aufgabe geht folgendermaßen:

Es sei G element N. Manuntersuche folgende Verknüpfungen auf Abgeschlossenheit, Asoziativität, Existenz neutraler und inverser Elemente und Kommutativität.

c) a verknüpft b = kleinstes gemeinsames Vielfaches von a,b

Wie muss man da vorgehen? (vielleicht mit Beispiel, damit ich Horschi des kapier) Außerdem hat ihre Lehrerin behauptet, dieses Ding hätte kein inverses Element. Stimmt das? (bin restlos überfragt).

Thx

P.S.: Wo finden diese komplexen Zahlen eigentlich eine sinnvolle Anwendung? In dem Buch steht was von zeigerdiagrammen, jedoch ham a die in Physik auch ohne komplexe Zahlen hingekriegt (inklusive Wechselstromwiderstand)

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Hi Rainer,

P.S.: Wo finden diese komplexen Zahlen eigentlich eine
sinnvolle Anwendung? In dem Buch steht was von
zeigerdiagrammen, jedoch ham a die in Physik auch ohne
komplexe Zahlen hingekriegt (inklusive Wechselstromwiderstand)

die E-Techniker haben eine besondere Vorliebe für Komplexe Zahlen, weil sich viele Wechselstromsachen sehr schön und einfach darstellen bzw. berechnen lassen.

Gandalf

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Nix komplex
Güezi

Es sei G element N. Man untersuche folgende Verknüpfungen auf
Abgeschlossenheit, Asoziativität, Existenz neutraler und
inverser Elemente und Kommutativität.

c) a verknüpft b = kleinstes gemeinsames Vielfaches von a,b

Diese Aufgabe hat erstmal nix mit komplexen Zahle zu tun.
Das sind die Gruppenaxiome

Abgeschlossenheit:
ist das kgV von zwei natürlichen Zahlen auch Element von N?

Assoziativität:
(Aus Faulheitsgründen verwende ich * für „verknüpft“)
(a * b) * c = a * (b * c)
entspricht also kgv(kgV (a,b),c)) = kgv(kgV a,(b,c)))
ist das gegeben?

Neutralelement: gibt es eine nat. Zahl e mit
e*a = a*e = a
kgV(e,a)=kgV(e,x) = x ?

Inverses Element: gibt es zu jedem A ein a^-1 mit
a * a^-1 = a^-1 *a = e
kgV(a,a^-1)=kgV(a^-1,a)= e ?

Kommutativgesetz:
Gilt a*b=b*a
bzw. kgV(a,b)=kgV(b,a) ?

Viele Grüße und schönes Wochenende

Ratz

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Es sei G element N. Manuntersuche folgende Verknüpfungen auf
Abgeschlossenheit, Asoziativität, Existenz neutraler und
inverser Elemente und Kommutativität.

c) a verknüpft b = kleinstes gemeinsames Vielfaches von a,b

Wie muss man da vorgehen? (vielleicht mit Beispiel, damit ich
Horschi des kapier) Außerdem hat ihre Lehrerin behauptet,
dieses Ding hätte kein inverses Element. Stimmt das? (bin
restlos überfragt).

Thx

Was meinst du mit G ist Element N ? Das ergibt wenig Sinn. Was die Lehrerin da fordert ist die Untersuchung des kgV auf Gruppeneigenschaften, d.h. du sollst feststellen ob eine Verknüpfung zusammen mit einer Menge eine Gruppe bildet. Die Menge wird dabei meist mit G bezeichnet, die Verknüpfung die du untersuchen sollst ist das kgV. Vermutlich ist in diesem Fall G die Menge der natürlichen Zahlen. Dann gilt:

-kgV ist abgschlossen denn das kgV zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.
-kgV ist assoziativ denn kgv(a,kgv(b,c))=kgv(kgv(a,b),c) für alle a,b,d aus G.
-Die natürliche Zahl 1 ist neutrales Element denn kgv(a,1)=kgv(1,a)=a für alle a aus G.
-Ein Inverses gibt es nicht denn sonst müsste zu jeder natürlichen Zahl a eine andere natürliche Zahl a’ existieren, so dass
kgV(a,a’)=kgV(a’,a)=1, denn 1 ist neutrales Element. Das ist aber nicht der Fall, also kein Inverses.
-kgV ist kommutativ den kgV(a,b)=kgV(b,a) für alle a,b aus G

P.S.: Wo finden diese komplexen Zahlen eigentlich eine
sinnvolle Anwendung? In dem Buch steht was von
zeigerdiagrammen, jedoch ham a die in Physik auch ohne
komplexe Zahlen hingekriegt (inklusive Wechselstromwiderstand)

Interessanterweise hat man bewiesen, dass der Körper der komplexen (also quasi der zweidimensionalen) Zahlen der größte Körper ist der existieren kann. Darüber hinaus gibt es noch den Hamiltonschen Schiefkörper (vierdimensionale Zahlen) mit dem man Drehungen im dreidimensionalen Raum einfach beschreiben kann, aber das ist wie gesagt ein Schiefkörper

hendrik

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Diese Aufgabe hat erstmal nix mit komplexen Zahle zu tun.
Das sind die Gruppenaxiome

Ich hab den Thread ja auch nicht komlexe Zahlen genannt und hab auch extra darauf hingewiesen, dass die AUfgabe nichts mit komplexen Zahlen zu tun hat. Sie ist lediglich in einem Buch für komplexe Zahlen drin.

Abgeschlossenheit:
ist das kgV von zwei natürlichen Zahlen auch Element von N?

Die Abgeschlossenheit war mir auch klar.

Assoziativität:
(Aus Faulheitsgründen verwende ich * für „verknüpft“)
(a * b) * c = a * (b * c)
entspricht also kgv(kgV (a,b),c)) = kgv(kgV a,(b,c)))
ist das gegeben?

Hier fängts an: Ich hab keinen Schimmer, wie ich das allgemein beweisen soll

Neutralelement: gibt es eine nat. Zahl e mit
e*a = a*e = a
kgV(e,a)=kgV(e,x) = x ?

Hier das gleiche. Wie soll man das zeigen?

Inverses Element: gibt es zu jedem A ein a^-1 mit
a * a^-1 = a^-1 *a = e
kgV(a,a^-1)=kgV(a^-1,a)= e ?

Wie soll das allg. bewiesen werden? *ratlos ist*

Kommutativgesetz:
Gilt a*b=b*a
bzw. kgV(a,b)=kgV(b,a) ?

Viele Grüße und schönes Wochenende

Das wiederum versteh ich.

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Hallo Rainer!

Wo finden diese komplexen Zahlen eigentlich eine
sinnvolle Anwendung?

Na, z. B. bei allen reellen Zahlen. Eigentlich sind alle Zahlen komplex. Kann aber im Ausnahmefall sein, daß der Imaginärteil Null ist :smile:.

In dem Buch steht was von
zeigerdiagrammen, jedoch ham a die in Physik auch ohne
komplexe Zahlen hingekriegt (inklusive Wechselstromwiderstand)

Der Wechselstromwiderstand ist das klassische Beispiel für komplexe Zahlen, weil er aus Realteil und Imaginärteil besteht. Graphisch läßt sich eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene darstellen, wobei auf der x-Achse die reelen Zahlen und auf der y-Achse die imaginären Zahlen j angeschrieben sind. Jeder Punkt in der Zahlenebene läßt sich durch seine Koordinaten darstellen oder durch Betrag und Winkel. So kommt man zum Zeigerdiagramm. Kurz: E-Technik ohne komplexe Rechnung funktioniert nicht.

Es gibt zum Thema ein Buch, erschöpfend, dennoch kurz (74 Seiten im Format A5) und verständlich geschrieben von Andreas Ebinger „Komplexe Rechnung“ aus dem Elitera-Verlag. ISBN 3-87087-107-5 Buch anschauen . Mein Exemplar habe ich schon in den 70ern gekauft; ob es das Buch noch gibt, weiß ich leider nicht.

Falls Du glaubst, in der Physik Wechselstromwiderstände nur mit dem Realteil behandeln zu können, empfehle ich von Paul Vaske „Berechnung von Wechselstromschaltungen“ aus der Reihe Teubner-Studienscripten ISBN 3-519-00065-2 Buch anschauen.

Gruß
Wolfgang

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Was meinst du mit G ist Element N ?

Das stand bei der Aufgabe dabei, G soll die Grundmenge sein

-kgV ist abgschlossen denn das kgV zweier natürlicher Zahlen
ist wieder eine natürliche Zahl.

Klar

-kgV ist assoziativ denn kgv(a,kgv(b,c))=kgv(kgv(a,b),c) für
alle a,b,d aus G.

Im Prinzip sucht man einfach das kgV dreier zahlen und bei welchen zwei Zahlen man anfängt ist im Grund schnuppe

-Die natürliche Zahl 1 ist neutrales Element denn
kgv(a,1)=kgv(1,a)=a für alle a aus G.

Damit bin ich auch noch einverstanden

-Ein Inverses gibt es nicht denn sonst müsste zu jeder
natürlichen Zahl a eine andere natürliche Zahl a’ existieren,
so dass
kgV(a,a’)=kgV(a’,a)=1, denn 1 ist neutrales Element. Das ist
aber nicht der Fall, also kein Inverses.

Dazu hätte ich ne Frage: Müssen Zahl und ihr Inverses verschieden sein? Zum Beispiel die Zahl 1. Ihr Inverses wäre 1/1 und das wäre wieder 1.

-kgV ist kommutativ den kgV(a,b)=kgV(b,a) für alle a,b aus G

Dat is logisch

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-Ein Inverses gibt es nicht denn sonst müsste zu jeder
natürlichen Zahl a eine andere natürliche Zahl a’ existieren,
so dass
kgV(a,a’)=kgV(a’,a)=1, denn 1 ist neutrales Element. Das ist
aber nicht der Fall, also kein Inverses.

Dazu hätte ich ne Frage: Müssen Zahl und ihr Inverses
verschieden sein? Zum Beispiel die Zahl 1. Ihr Inverses wäre
1/1 und das wäre wieder 1.

Vorsicht, das Inverse hängt ja nicht (nur) von der Zahl ab sondern von der Verknüpfung. Das Inverse von a bezüglich der Multiplikation ist 1/a (bei 1 also 1), bezüglich der Addition ist es aber z.B. -a (also -1).
Wenn du zu irgendeinem a aus G das Inverse a’ bezüglich irgendeiner Verknüpfung o suchst, suchst du eine Zahl aus G, so dass gilt:
a o a’ = a’ o a = neutrales Element.
In deinem Beispiel suchst du zu jeder natürlichen Zahl a eine andere (gleiche oder verschiedene) natürliche Zahl a’, so dass gilt:
kgV(a,a’)=kgV(a’,a)=1
Ich hoffe das hilft.

hendrik

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(gleiche oder verschiedene)

Das heißt, das Inverse Element darf die gleiche Zahl sein (das war meine Frage)?

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Hallo,

Das heißt, das Inverse Element darf die gleiche Zahl sein (das
war meine Frage)?

Ja. Einfaches, anschauliches und nicht-triviales Bsp. sind z.B. Gruppen, deren Elemente Drehungen (und evtl. Spiegelungen) eines regelmäßigen n-Ecks darstellen. Konkretes Bsp. Viereck (n=4) und z.B. 180° Drehung.

Gruss
Enno

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Ja.

Dann versteh ich nicht, wieso es bei dieser Aufgabe kein inverses Element gibt. kgV(a’;a) = 1 wäre doch erfüllt für a= 1 und a’ 1/1, also wieder 1.

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Hallo,
in der Aufgabe hat nur die 1 ein Inverses. Für alle anderen folgt aus kgV(a,b)>=max(a,b)>1 das sie kein Inverses besitzen können.

Gruss
Enno