Körperaxiome im Z2

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
ich habe folgendes mathematisches Problem:

gegeben sei die Menge M = {0,1}
Zeige, daß es sich bei dieser Menge um einen Körper handelt.

Ein Körper ist ja dann gegeben, wenn die Körperaxiome erfüllt sind:
Addition:
K1: a + (b+c) = (a+b) +c
K2: 0 + a = a
K3: (-a) + a = 0
K4: a+b = b+a
Multiplikation:
K1*: a*(b*c) = (a*b)*c
K2*: 1*a = a
K3*: a^-1 * a = 1
K4*: a*b = b*a
K5*: 1 != 0
D: a*(b+c) = a*b + a*c

In einem Buch habe ich jetzt folgendes dazu gefunden:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Aber wieso kann ich z.B. nicht sagen das 1+1=1 oder 1*1=0 etc. Ist das irgendwie definiert worden oder wie kommt man dadrauf?

Ich habe eigentlich gedacht ich muß für jede Verknüpfung zeigen, daß die Axiome gelten nur wie mach ich das?
und wie komme ich überhaupt erstmal dadrauf das 1*0=0 oder 0*0=0 oder 1+1=0 usw.

Vielen Dank im voraus
Julia

#2

Hallo, Julia,

gegeben sei die Menge M = {0,1}
Zeige, daß es sich bei dieser Menge um
einen Körper handelt.

Ein Körper ist ja dann gegeben, wenn die
Körperaxiome erfüllt sind:
Addition:
K1: a + (b+c) = (a+b) +c
K2: 0 + a = a
K3: (-a) + a = 0
K4: a+b = b+a
Multiplikation:
K1*: a*(b*c) = (a*b)*c
K2*: 1*a = a
K3*: a^-1 * a = 1
K4*: a*b = b*a
K5*: 1 != 0
D: a*(b+c) = a*b + a*c

Aber wieso kann ich z.B. nicht sagen das
1+1=1 oder 1*1=0 etc. Ist das irgendwie
definiert worden oder wie kommt man
dadrauf?

Du scheinst eigentlich eher wissen zu wollen, ob man die Verknüpfungstafeln quasi durch kombinatorisches Ausprobieren aufbaut oder ob man sie aus den Definitionen möglichst straightforward ableiten könnte. Im Prinzip wäre das Vorgehen tatsächlich kombinatorisches Ausprobieren, so wie bei Gruppen.

Bei Z_2 setzst Du ja schon fest, daß 0 das neutrale und 1 das Einselement sind. Diese zwei Elemente müssen in jedem Körper vorhanden und verschieden sein.
1*1 muß 1 sein, weil 1 das Einselement ist.
-1 muß 1 sein, denn wäre -1 gleich 0, so
wäre (K2) (-1)+1=1, da -1 ja das Nullelement ist,
dann aber paßt es nicht zur Definition von -1, nämlich (K3) (-1)+1=0.

Bei Körpern mit mehr Elementen würde man zunächst denken, daß man kombinatorische Freiheiten'' haben könnte. Bei primer (damit endlicher) Anzahl von Elementen allerdings gibt es bis auf Isomorphie immer nur einen Körper. Kombinatorische Freiheiten hat man erst bei unendlichen Körpern, wie man ja bei Q, R und C sieht. Zwischen Q und R gibt es sogar weitere Körper (Körpererweiterungen’’).

Gruß
Stefan

#3

Hi,
danke für deine Antwort, ich habe da allerdings noch ein paar Fragen:
1.) Was genau verstehst du unter kombinatorischen Ausprobieren?
2.) Muß (-1) nicht verschieden von 1 sein, da ja jedes Element in der Menge nur ein mal vorkommen darf, oder sind sie, da es sich ja um eine zweielementige Menge handelt gleich?
3.) Wenn ich jetzt z.B. einen Körper mit 3 Elementen finden soll, wie muß ich da vorgehen?
Dazu habe ich mir überlegt, daß man z.B. den Körper {-1,0,1} betrachten könnte, als Verknüpfungen ergibt sich dadurch nach Anwendung der Axiome bei mir folgendes:
Addition:
0+0=0
0+1=1
0+(-1)=-1
1+0=1
1+1=-1
1+(-1)=0
(-1)+0=-1
(-1)+1=0
(-1)+(-1)=1
Multiplikation:
0*0=0
0*1=0
0*(-1)=0
1*0=0
1*1=1
1*(-1)=-1
(-1)*0=0
(-1)*1=-1
(-1)*(-1)=1
Stimmen die Verknüpfungen? Handelt es sich bei -1,0,1 überhaupt um einen dreielementigen Körper? Könnte ich anstelle von -1,0,1 auch 0,1,2 nehmen oder geht das da nicht?
4.) Wie kann ich bei der 2-elementigen Menge und vor allem bei der 3-elementigen Menge die Körperaxiome verifizieren, was soll verifizieren überhaupt bedeuten?

Ich würde mich sehr freuen, wenn du mir weiterhelfen könntest, denn ich denke, daß ich durch dieses Beispiel mit 3 Elementen zumindestens ansatzweise verstehen kann was ein Körper ist!

Ciao und vielen Dank
Julia

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#4

1.) Was genau verstehst du unter:kombinatorischen Ausprobieren?

Jedem Paar von Zahlen wird ein Ergebnis zugeordnet. Das kann man f"ur Additon und Multiplikation jeweils als Matrix darstellen. Jetzt kann man alle m"oglichen Belegungen dieser Matrizen testen. Macht in diesem Fall 256 =16*16=2(22)*2(22) M"oglichkeiten.

Durch Einbeziehen der K"orperaxiome k"onnen die meisten (=so ziemlich alle) Varianten von vornherein ausgeschlossen werden.

2.) Muß (-1) nicht verschieden von 1:sein,

Nein, -1 ist nur das additive Inverse von 1, und wenn 1+1=0 ist, dann ist eben -1=1. (Division durch 2 ist nicht definiert!!)

3.) Wenn ich jetzt z.B. einen Körper mit
3 Elementen finden soll, wie muß ich da:vorgehen?

Sieht alles sehr richtig aus.

Könnte ich:anstelle von -1,0,1 auch 0,1,2 nehmen:oder geht das da nicht?

Ja, oder auch 3,4,5 (mit der 3 als Nullelement). Das entspricht dem Rechnen mit "Aquivalenzklassen modulo 3.
el0=(…,-6,-3,0,3,6,…)
el1=(…,-5,-2,1,4,7,…)
el2=(…,-7,-4,-1,2,5,…)

4.) Wie kann ich bei der 2-elementigen:Menge und vor allem bei der 3-elementigen:Menge die Körperaxiome verifizieren, was:soll verifizieren überhaupt bedeuten?

Du kannst die oben erw"ahnten Matrizen hinschreiben, dann siehst Du Kommutativit"at und die 0 und 1-Eigenschaften, Es verbleibt noch jeweils f"ur Addition und Multiplikation die Assoziativit"at und insgesamt die Distributivit"at zu pr"ufen, wobei die Komm. die F"alle reduziert.

Sieht nach viel Arbeit aus…

MfG Lutz

#5

Hallo…
Was macht ihr denn da?
1+1=1??? das ist in dem Körper ja schon mal falsch!!!
1+1 ist ja wohl gleich Null!!! Und wo habt Ihr diese lustigen negativen Elemente her? (Abgeschlossenheit? In diesem Körper gibt es nicht: (-1)!!!
Also, erst alle Axiome durchgehen, dann antworten :smile:)))
Bis dann,
Leppi!!!

#6

also,
wenn Du erlaubst 1^{-1} zu schreiben, was
in allen Körpern gleich 1 ist, dann gestatte auch die Zeichenkette -1 als Abkürzung für die additive Inverse von 1. Damit existiert auch in Z_2 das Symbol -1, denn es steht gemäß Verknüpfungstabelle für 1.
Da is doch nix dabei…

-)

Gruß
Stefan

#7

Hallo…
Was macht ihr denn da?
1+1=1??? das ist in dem Körper ja schon:mal falsch!!!

Hast Du Deine Brille nicht geputzt? ich konnte diese Gleichung nirgendwo finden.

1+1 ist ja wohl gleich Null!!! Und wo:habt Ihr diese lustigen negativen:Elemente her? (Abgeschlossenheit? In:diesem Körper gibt es nicht: (-1)!!!

Falls es nicht auffiel, zwischendurch war auch mal von Z_3 die Rede, und nat"urlich geh"ort -1 zur "Aquivalenzklasse der 1, welchen Repr"asentanten man w"ahlt, spielt keine Rolle.

Also, erst alle Axiome durchgehen, dann:antworten :smile:)))

Also, erst richtig lesen, dann wild schiessen:smile:)))

Bis dann,
Leppi!!!

MfG Lutz