Körperkonstruktion und Einbettung

[Tobias_bed371]

Hi Leute!

Also ich hab folgendes Problemchen:

Sei K ein Körper der die Gleichung x^2 +1 =0 nicht löst. Nun soll ich den Körper L so konstruieren mit den Verknüpfungen +,*, dass gilt: L=K X K. Also K in L eingebettet werden kann!

So nun mal zu meiner Frage: Was genau heist denn eigentlich einbetten?
Also wir haben das in unser Vorlesung so gehört, dass R in C eingebettet wird, also R X R -> C. Nunja ich dachte auch ich hätts verstanden… also Durch das Kreuzprodukt von R und R bekomme ich geordnete Paare, die dann die Elemente von C sind bzw. alle Punkte einer Ebene die durch 2 Koord-Achsen festgelegt wird… dann wird der eine Einheitsvektor halt als i bezeichnet, und alle Punkte sprich Ortsvektoren werden als Linearkombination dargestellt. Da man weiss dass i^2 = -1 sein soll ists auch noch leichtes die Multiplikation für die geordneten Paare zu konstruieren.

Aber gut was ich eigentlich nicht dabei verstanden habe, ist:
Welche Eigenschaft muss L in Bezug auf sein eigebetteten Körper K haben?
Also wenn ich z.B. mit Q anstatt von R eine Art von C, nenne ich mal V, erzeuge, klappt dass doch dann auch oder? Also die Körperaxiome sind erfüllt für V! Also ist ja V quasie ein Teilkörper von C.

Tja aber das Problem ist:

…„konstruieren Sie mit dieser Idee Körper mit 9, 49, 121 Elementen“. Wenn ich jetzt z.B. C mir anschaue und alle Elemente die keinen Imaginärteil haben isoliere und gesondert betrachte in einer Menge M, so stell ich ja fest, dass M=R gilt oder? Zumindest wenn ich die Elemente z von C als z= a + ib schreibe. Genau dass ist das erste Problem wass ich festgestellt habe, werden die Elemente von C als Paare aufgefasst oder als z Elemente quasie als eine Zahl mit 2 Komponenten??? Also die Frage die sich für mich stellt ist nun R Teilmenge von C hinsichtlich der z`ts oder nicht( Schlichtweg ist die Frage für mich: Heist einbetten einfach nur „ist ein Teilkörper“?). Also ich mein 3 z.B. ist ja Element von R und man kann ja auch sagen sie ist Element von C für die Darstellung z=a+ib. z=3+i0=3??? Ich glaub was mich etwas verwirrt hat am Ende ist die Betrachtung der Elemente von C als (a,b) und andersherum wieder als eine Zahl in form von Z.

Nun gut, aber zurück zur Idee, welche Idee ist gemeint um Körper mit n Elementen zu konstruieren?

Ach ja und jetzt ist mir noch was eingefallen(sorry) aber angenommen ich konstruiere K mit 2 Verknüpfungen für + und * die sich zu den Referenzverknüpfungen + und * die man aus der Schule kennt(mit denen man aber wenn ich dass richtig verstehe viele andere Verknüpfungen konstruiert) unterscheiden. Wenn nun K in L eigebettet ist, was muss dann für L gelten?

Also ich fasse noch mal kurz zusammen:

1. Was soll für K hinnsichtlich auf L, gelten? (Dass die K.-Axiome erfüllt sein müssen weiss ich)
2. Was muss für L aufgrund von K gelten? (Einfach nur: L muss mindestens die Elemente von K besitzen???)
3. Für L aus 9,49 bzw. 121 Elementen, brauch ich wohl K mit 3,7,11 oder? Nur wenn dies der Fall ist, wie kann man K so kostruieren, dass die Axiome erfüllt werden? (ich glaube dies ist zu guter letzt mein größtes Problem! Wie reduzier ich K von unendlich vielen Elementen, im Fall von K=R oder Q, auf K mit endlich vielen Elementen?)
4. Wie kann man dann den kleinsten Teilkörper von C konstruieren? (Gegebenenfalls durch ander konstruierte Verknüpfungen?)

Nunja es wär echt nett von euch wenn iht mir bei den Verständnis-Problemen etwas helfen könntet (erklären), und mir eventuell ein paar kleine Tips zu Punkt 3. und 4. geben könntet.

Danke
mfg
Tobias

[Urs_Kollbrunner_793d41]

Hallo Tobias

1. Was soll für K hinnsichtlich auf L, gelten? (Dass die
   K.-Axiome erfüllt sein müssen weiss ich)

Gesucht ist ein Körper L und eine injektive Abbildung i:K->L, die folgendes erfüllt:
a) i(0)=0
b) i(1)=1
c) i(a+b)=i(a)+i(b)
d) i(a*b)=i(a)*i(b)
Damit kannst Du K als Teilmenge (Teilkörper) von L auffassen, und es ist egal ob Du nun die Elemente aus K in K oder L addierst/multiplizierst, es kommt auf das selbe heraus. Im Fall der reellen Zahlen identifizierst Du die relle Zahl x mit dem Paar (x,0) (eine komplexe Zahl) und die Addition/Multiplikation in C ist so definbiert, dass (x,0)+(y,0)=(x+y,0) und (x,0)*(y,0)=(x*y,0). Das sind b) und c) von oben.

2. Was muss für L aufgrund von K gelten? (Einfach nur: L muss
   mindestens die Elemente von K besitzen???)

Das sollte sich mit meiner Antwort zu 1) erledigt haben. Wenn ich hier aber was falsch verstanden habe, frage einfach noch mal konkret nach.

3. Für L aus 9,49 bzw. 121 Elementen, brauch ich wohl K mit
   3,7,11 oder? Nur wenn dies der Fall ist, wie kann man K so
   kostruieren, dass die Axiome erfüllt werden? (ich glaube dies
   ist zu guter letzt mein größtes Problem! Wie reduzier ich K
   von unendlich vielen Elementen, im Fall von K=R oder Q, auf K
   mit endlich vielen Elementen?)

Ich habe hier nicht alles im Detail nachgerechnet, aber es scheint mir, als ob Du auf dem richtigen Weg bist. Startpunkt sind Körper mit 3,7 bzw. 11 Elemente. Da 3,7,11 Primzahlen sind, existieren tatsächlich Körper mit soviel Elementen. Man nennt diese in der Mathematik Z/p, wobei p eine Primzahl ist (also in Deinem Fall Z/3,Z/7,Z/11). Die Addtion/Multiplikation ist fast wie in der Menge der ganzen Zahlen, nur das man am Schluss noch den Rest modulo p rechnet. Zum Beispiel in Z/7:
3+6=2, 3*4=5,…
In einem zweiten Schritt nimmst Du L=Z/pxZ/p (hat p² Elemente). Die Voraussetzung, dass x²+1=0 keine Lösung haben darf, ist für die vorgegebene Wahl p=3,7,11, erfüllt. Für die Addition und Multiplikation lässt Du Dich nun durch die entprechenden Definitionen in C inpsirieren:
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
0=(0,0)
1=(1,0)
und rechnest nun als Fleissarbeit nach, dass
a) die Körperaxiome erfüllt sind (Du brauchst die Voraussetzung, dass x²+1=0 keine Lösung hat)
b) Dass Z/p durch a->(a,0) im Sinne wie bei der ersten Frage erklärt in L eingebettet wird.
Es ist übrigens erlaubt (ja sogar empfohlen) für die Beweise die entsprechenden Beweise für C abzukupfern.

4. Wie kann man dann den kleinsten Teilkörper von C
   konstruieren? (Gegebenenfalls durch ander konstruierte
   Verknüpfungen?)

Wenn man von Teilkörper K zu einem gegeben Körper L spricht, meint man immer eine Teilmenge K von L mit den Verknüpfungen, die man durch Einschränkung der Verknüpfungen auf L erhält. Den kleinsten Teilkörper von C erhält man, indem man sich überlegt was alles drin sein muss. Mit zwei Elementen x,y muss die Summe x+y , das Produkt x*y, -x und 1/x, und weiter 0 und 1 wieder drin sein. wenn Du mit dem Element 1 beginnst, erhälst Du, dass mindestens Q drin sein muss, was ja zugleich auch ein Teilkörper ist und damit auch der kleinste.

Nunja es wär echt nett von euch wenn iht mir bei den
Verständnis-Problemen etwas helfen könntet (erklären), und mir
eventuell ein paar kleine Tips zu Punkt 3. und 4. geben
könntet.

Ich hoffe Dun kannst damit etwas anfangen und es ist nicht irgendwelches (wohl korrektes aber unverständliches) Geschwätz eines Fachidioten.

Gruss Urs