Hiho,
Axiom 3:
„Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse“ [Hervorhebung von mir].
Warum entspricht es der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse?
Oder ist die Frage fehl am Platze, weil es ein Axiomn ist? Aber dennoch müsste man sich dann ja auch was dabei gedacht haben…
Oder ist damit gemeint das eine Mengenvereinigung der Addition enspricht?
Dann ist meine Frage aber leider immer noch offen.
Warum addieren sich die einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten der Ereignisse bei der vereinigung inkompatibler Ereignisse?
hi,
Oder ist damit gemeint das eine Mengenvereinigung der Addition
enspricht?
ja. bei disjunkten („nicht-kompatiblen“) mengen.
Dann ist meine Frage aber leider immer noch offen.
Warum addieren sich die einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten der
Ereignisse bei der vereinigung inkompatibler Ereignisse?
weil das dem intuitiven wsk-begriff entspricht, den die kolmogorov-axiome formalisieren wollen & sollen.
bsp.: die wsk, bei einem würfel eine gerade zahl zu werfen, ist 1/2. die wsk, 5 zu werfen (= disjunktes / nicht-kompatibles ereignis) ist 1/6. die wsk, 5 oder eine gerade zahl zu werfen, ist
1/2 + 1/6 = 2/3.
m.
Hi! 
Jetzt mal zu einem merkwürdigen Verständisproblem meinerseits 
DD
Beispiel Würfel:
Es gilt: 6*P=1 P=1/6 für jede Zahl.
1/6+1/6=2/6 Entzieht sich meinem Verstand! Deshalb mein Thread hier im Forum. but behold:
17%+17%=34% Das verstehe ich! Aber das ist ja genau das gleiche wie oben. Also nen Widerspruch. Daran geh ich kaputt
Wenn ich P=17% habe denke ich an 100 Würfelwürfe (Zungenbrecher!) von denen 17 z.B. die Zahl 1 sind.
Wenn ich nun ein disjunktes Ereignis habe (nehmen wir zahl 2) das auch 17% beträgt, dann wird das auch bei 100 Würfelwürfen wird 17x mal die Zahl 2 auftreten.
Wen wir diese disjunkten Ereignisse also haben wollen wird logischerweise addiert 17%+17%=34% Bei 100 Würfelwürfen wird also 34mal die 1 oder die 2 auftreten.
Wobei ich oben von einem praktischen Beispiel ausgehe und man natürlich nicht sagen kann, dass man bei 100 Würfelwürfen tatsächlich 34mal die 1 oder die 2 gewürfelt hat.
Deshalb sollte man von der theoretischen und der praktischen Wahrscheinlichkeit unterscheiden.
Wie aber komme ich zu der theoretischen Wahrscheinlichkeit? Für mich ergibt sich das durch die Annahme des Würfels
1: Alles fällt gleichwahrscheinlich.
2: Um kolomogorow zu erfüllen stelle ich die gleichung:
6*P=1 Auf.
Dadurch ergibt sich das P=1/6 ist. Das also jede Augenzahl die gleiche Wahrscheinlichkeit hat und zusammen das sichere Ereignis 1 ergibt.
Wie aber leite ich dadurch ab, dass zwei disjunkte Ereignisse die Wahrscheinlichkeit 2/6 haben? Vermutlich gar nicht, weil das ja schon in der Gleichung 6*P=1 enthalten ist…
Oder ist das rein intuitiv?
Zungengymnastik pur 
*verwirrt*
hi,
ich will nicht schäbig sein, aber warum …
1/6+1/6=2/6 Entzieht sich meinem Verstand!
???
m.
Mach dir keine Sorgen, das ist nicht schäbig
Also wenn ich mir das so vor Augen halte:
2/6 enspricht 6x Würfeln und 2x ist dann entweder die 1 oder die 2 gefallen (das hier ist aber ja auch wieder nur Praxis, deshalb ist das für mich direkt nen inadäuqates vor Augen halten, genausowie mit den %, stimmt doch, dass das inadäquat ist für theoretische Wsk., oder?)
Ich könnte das aber auch noch anders betrachten:
Der Würfel hat ja nur 6 Möglichkeiten zu fallen. Das ändert sich nicht, egal wie häufig man würfelt.
Nun ist durch 6*P=1 genau festgelegt, dass die Wahrscheinlichkeit, um auf eine bestimmte Seite zu landen, bei 1/6 liegt.
Wenn wir nun zwei Seiten in Betracht ziehen, dann werden von den 6 disjunkten Möglichkeiten, 2 disjunkte Möglichkeiten in Betracht gezogen.
Da es nur 6 Möglichkeiten gibt und eine Möglichkeit 1/6 beträgt erhöht sich sich die Wahrscheinlichkeit auf 2/6, wenn man 2 disj. Mögl. in Betracht zieht, denn der günstige Ausgang hat sich pro Würfelwurf ja nun verdoppelt!
Ich merke das es relativ schwer ist auszudrücken, was ich gerade denke…
Also wenn ich das so betrachte das 1/6 die relative Häufigkeit eines Ereignisses angibt, dann leuchtet das 1/6+1/6=2/6 unmittelbar ein.
Aber: In den Axiomen steht ja nicht drin, dass das die relative Häufigkeit sei und die relative häufigkeit kann sich ja auch wieder nur auf das praktische würfeln beziehen.
-.-
hi,
wahrscheinlichkeiten sind theoretische konstrukte, die a la longue das wiedergeben sollen, was wir empirisch als relative häufigkeiten wahrnehmen. ob für einen sachverhalt ein bestimmtes wsk-modell zutreffend ist, erweist sich allenfalls nach vielen empirischen versuchen.
oder andersrum: wir nehmen an, dass der würfel mit wsk 1/6 auf jede der seiten fällt. wir rechnen damit und kommen zu ergebnissen, die mehr oder minder sinnvoll sind.
wenn sich herausstellt, dass der betreffende würfel schadhaft / gezinkt / unfair ist und sich nicht genau so verhält wie angenommen, dann stimmen natürlich alle unsere „ergebnisse“ nicht.
wahrscheinlichkeiten sind theoretische konstrukte, die empirische (relative) häufigkeiten beschreibbar machen sollen.
m.
Hallo
Ich glaube ich habs jetzt verstanden.
Wenn wir einen idealen Würfel betrachten, welcher auf alle seiten gleichfällt, dann wird er gleichwahrscheinlich auf ale Seiten fallen.
Um Kolmogorov zu efüllen erhalten alle Elementarereignisse den Wert: 1/6
(man könnte ja auch allen den Wert 5 geben, dann wäre es auch alles gleichwahrscheinlich aber damit wäre kolmogorovs axiome verletzt).
Mit diesem wert 1/6 kann man nun relative Häufigkeiten vorhersagen.
Wenn also 60000x gewürfelt wird, wird nach der obigen theoretischen Wahrscheinlichkeit jede Zahl 10000x gefallen sein.
Hierdurch ergibt sich dann auch die logik des addierens. Mit 2/6 wird ja einfach nur gemeint, wenn man 60000x (in der theoretischen Betrachtung) würfelt, wird
(60000*1/6)+(60000*1/6) = 60000*(2/6) die Eine oder die Andere zahl fallen.
Mit anderen Worten, wenn alles gleich wahrscheinlich ist und wir zwei Zahlen 1 oder 2 auswählen dann wird, aufgrund der Wahrscheinlichkeit 1/6 egal wie oft wir würfeln die Wahrscheinlichkeit verdoppelt, dass entweder die eine oder die andere Zahl fällt (aber das eben auch nur in der theoretischen Betrachtung)
In der Praxis können die Würfel natürlich anders fallen. Vor alem wenn ein Würfel nicht ideal ist…
Die unendliche Geschichte
So. Hab mir nochmal die drei Axiömchen angeschaut.
Erstmal muss ich festellen, dass es keine relativen Häufigkeiten beinhaltet.
Ich muss feststellen, dass die Axiome von Kolo… ja lediglich ein Wahrscheinlichkeitsmaß bilden.
Hat man nun die Wahrscheinlichkeiten von 2 disjunkten Ereignissen so addieren sie sich.
Wie aber findet man die Wahrscheinlichkeiten? Hier zu hat man ja gar keine andere Wahl als auf relative Häufigkeiten zu bauen (es sei denn man kann es a priori, wie beim Würfel, feststellen)
Wenn man also irgendein Versuchsexperiment bei dem die rel. Häufigkeiten so aussehen:
0.4, 0.1, 0.2, 0.3
Hat man ja schon die Wahrscheinlichkeiten und das sich diese Addieren müssen folgt auch auf logische Weise. Den das eine trat 0.4 das andere 0.1 das andere 0.2 und das andere 0.3mal bei N Versuchsdurchführungen auf.
Natürlich müsste man das Experiment noch öfters N-mal wiederholen, ob das auch stimmt, aber prinzipiell habe ich damit recht (N sollte gegen unendlich streben).
Und genauso verhält es sich auch mit dem Würfel nur das wir dort nicht wie bekloppt würfeln müssen, wenn wir Grund der Annahme haben, dass alles gleich wahrscheinlich ist.
hi,
So. Hab mir nochmal die drei Axiömchen angeschaut.
Erstmal muss ich festellen, dass es keine relativen
Häufigkeiten beinhaltet.
nona ned. in axiomen heben empirische größen wie (relativ) häufigkeiten wenig verloren. es geht ja grade drum, diese empirischen größen in axiomen exakt zu fassen.
Ich muss feststellen, dass die Axiome von Kolo… ja lediglich
ein Wahrscheinlichkeitsmaß bilden.
ja. eh.
Hat man nun die Wahrscheinlichkeiten von 2 disjunkten
Ereignissen so addieren sie sich.Wie aber findet man die Wahrscheinlichkeiten? Hier zu hat man
ja gar keine andere Wahl als auf relative Häufigkeiten zu
bauen (es sei denn man kann es a priori, wie beim Würfel,
feststellen)
entweder induktiv - aus der empirie abgeleitet; oder deduktiv; d.h. man glaubt das system zu kennen und beschreibt die sach damit.
Wenn man also irgendein Versuchsexperiment bei dem die rel.
Häufigkeiten so aussehen:0.4, 0.1, 0.2, 0.3
Hat man ja schon die Wahrscheinlichkeiten und das sich diese
Addieren müssen folgt auch auf logische Weise. Den das eine
trat 0.4 das andere 0.1 das andere 0.2 und das andere 0.3mal
bei N Versuchsdurchführungen auf.Natürlich müsste man das Experiment noch öfters N-mal
wiederholen, ob das auch stimmt, aber prinzipiell habe ich
damit recht (N sollte gegen unendlich streben).Und genauso verhält es sich auch mit dem Würfel nur das wir
dort nicht wie bekloppt würfeln müssen, wenn wir Grund der
Annahme haben, dass alles gleich wahrscheinlich ist.
ja. wenn wir grund zur annahme haben (duduktiv!), dann müssen wir nicht „wie bekloppt“ (induktiv!) würfeln.
hammas?
m.
Hi
Ja, ich denke schon. Um mein Verständnis kurz und bündig zusammenzufassen:
Die Axiome Kolmogorvs besagen eben einfach nur ab wann man von einer Wahrscheinlichkeit sprechen kann (Reelle Zahl: 0-1) und wie man mit ihnen umgeht (Additivität) und das 1 das sichere Ereignis ist.
Der axiomatische Aufbau interessiert sich nicht dafür wie man die Wahrscheinlichkeiten erhält bzw wie man Wahrscheinl9ichkeiten ermittelt. Solange die drei Bedingungen erfüllt sind ist es einfach eine Wahrscheinlichkeit.
Die richtigkeit oder falschheit der Wahrscheinlichkeiten interessiert die Axiome auch nicht (solange die Teilwahrscheinlichkeiten zusammen alle 1 ergeben).
also ja ich denke ich habs.
so isses
owT