Kombination von Standardabweichungen

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Morgen, liebe Experten,

ich stehe vor einer Frage, zu der meine Kenntnisse mir keine Antwort geben, weswegen ich um eure geschätzte Hilfe bitte.

Die Lage:

  • n Einzelereignisse beeinflussen eine Ergebnisgröße.
  • die Einzelereignisse treten voneinander unabhängig auf, beeinflussen sich also nicht gegenseitig.
  • zu jedem der Einzelereignisse kann die Standardabweichung sig ermittelt werden.

Die Frage:
Wie werden die sig statistisch/mathematisch richtig so kombiniert, daß daraus ein einziger Wert (als Koeffizient in der Formel für die Ergebnisgröße wird)?

In der Literatur habe ich dazu gefunden die Wurzel aus dem arithmetischen Mittel der Quadrate der Stdabw.
( 1/n*(sig1^2 + sig2^2 + … + sign^2))^1/2

Eine Erklärung, warum Quadrate mit Quadratwurzel und nicht höhere Potenzen angesetzt werden, war nicht dabei.

Würde mich sehr freuen, wenn jemand helfen kann.

Gruß
Cassius

#2

Hossa :smile:

Angenommen, du hast 3 Messgrößen X, Y und Z mit den Standardabweichungen (Fehlern):

\Delta X, \Delta Y, \Delta Z

Jetzt stell dir vor, diese 3 Größen werden in ein 3-dimensionales Koordinatensystem eingetragen, X auf der x-Achse, Y auf der y-Achse und Z auf der z-Achse. Dann beschreiben diese einen Punkt in dem Koordinatensystem. Bedenkt man jetzt, dass jeder Wert eine Ungenauigkeit hat, ist die tatsächliche Lage des Punktes „verschmiert“. Schlimmstenfalls treten alle Fehler maximal in Erscheinung und der Punkt liegt z.B. bei:

\left(X+\Delta X, Y+\Delta Y, Z+\Delta Z\right)

Der Abstand d von diesem maximal falschen Punkt zum Mittelwert-Punkt ist also:

d=\sqrt{(\Delta X)^2+(\Delta Y)^2+(\Delta Z)^2}

Die Messfehler der einzelnen Werte addieren sich sozusagen geometrisch. Bei mehr als 3 Größen wird die Regel entsprechend erweitert.

Wichtig ist noch, wie die Größen miteinander kombiniert werden. Die obige Formel gilt z.B. nur dann, wenn alle Größen einfach addiert werden: X+Y+Z. Bei 2X+Y+Z z.B. wird der Fehler von X „wichtiger“ und geht stärker in die gesamte Abweichung ein. Näheres hierzu findest du unter dem Stichwort „Gauß’sche Fehlerfortpflanzung“.

Viele Grüße

Hase

#3

Hi Cassius,

In der Literatur habe ich dazu gefunden die Wurzel aus dem
arithmetischen Mittel der Quadrate der Stdabw.
( 1/n*(sig1^2 + sig2^2 + … + sign^2))^1/2

Eine Erklärung, warum Quadrate mit Quadratwurzel und nicht
höhere Potenzen angesetzt werden, war nicht dabei.

Das ist der gängige Ansatz. Er vereint ein paar simple Eigenschaften: Jedes sigma hat gleiches Gewicht (deswegen 1/n), große sigma haben einen größeren Einfluss (deswegen ^2), Fehler kumulieren sich (deswegen +) und die Einheit bliebt erhalten (deswegen ^(1/2)).
Andere Ansätze sind aber genauso möglich, wie es auch arithmetische, geometrische, … Mittelwerte gibt, kann man das auch für Streuungen machen. DAS richtige Vorgehen richtet sich also nach den Eigenschaften, die dein Schätzer haben soll und was er für einen Einfluss auf die Teststatistik und deren Verteilung hat.
Als Alternative kannst du auch die Standardfehler verrechnen - das hätte den Vorteil, dass die Fallzahl nochmal zum Zuge kommt.
Würden sich die Fehler gegenseitig beeinflussen (weil sie z.B. im Produktionsprozeß hintereniandergeschaltet sind), würde man auf die Fehlerfortpflanzung zurückgreifen.
Bei anderen Korrelationen könnte man simpel die Kovarianzen berücksichtigen (http://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik)), was bei vielen Sigma aber schnell unübersichtlich wird.
Grüße,
JPL

#4

Vielen Dank! owT
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