Ich tauche gerade ein wenig in die gute alte Kombinatorik ein und hab mir da eine Problemstellung ausgedacht, bei der ich so gar nicht weiß, wie ich daran gehen kann und ob es dafür überhaupt eine Lösung gibt.
Ausgangssituation:
- Es existieren x (z.B. 5) befreundete Fussballteams
- Jedes Team hat 11 Mitglieder und jedes Mitglied kann auf genau einer Position spielen (Torwart nur Torwart, erster Stürmer nur erster Stürmer, zweiter Stürmer nur zweiter Stürmer)
Das Ziel ist es möglichst viele Teamkombinationen zu erstellen, die möglichst unterschiedlich sind.
Die Frage ist:
- Wie viele Kombinationen sind möglich
- Wie bekomme ich möglichst unterschiedliche Kombinationen raus (Formel)
Zur weiteren Erklärung:
Nennen wir die Teams A,B,C,D,E
Eine Teamaufstellung wäre dann natürlich die Originalteams:
A_Torwart_1,A_Stürmer_2, …, A_Abwehr_11
B_Torwart_1,B_Stürmer_2, …, B_Abwehr_11
…
Wenn ich jetzt nur einen Spieler austausche:
A_Torwart_1,B_Stürmer_2,A_Stürmer_3, …, A_Abwehr_11
dann ist das offensichtlich nur eine sehr geringe Durchmischung und wäre ziemlich langweilig.
Erreicht werden soll eine möglichst abwechslungsreiche Durchmischung und möglichst viele Kombinationen (die immer noch unterschiedlich scheinen … wobei mir nicht einmal klar ist, wie man so eine Unterschiedlichkeit mathematisch ausdrücken könnte).
Ihr seht, ich bin ziemlich eingerostet.
Mir würde auch ein Hinweis für Lesematerial etwas nützen, obwohl ich eine Komplettlösung auch nicht in den Müll werfen würde ^^
lg
etta_tau
Ausgangssituation:
- Es existieren x (z.B. 5) befreundete Fussballteams
- Jedes Team hat 11 Mitglieder und jedes Mitglied kann auf
genau einer Position spielen (Torwart nur Torwart, erster
Stürmer nur erster Stürmer, zweiter Stürmer nur zweiter
Stürmer)
Hallo !
Du willst ja aus den x Teams insgesamt wieder x Teams aufstellen. Jetzt fängst du mit dem Torwart der ersten aufzustellenden Mannschaft an. Dafür gibt es x Kandidaten (aus jeder Mannschaft einen). Für den ersten Stürmer gibt es ebenfalls x Kandidaten, u.s.w.
Es gibt also x11 Möglichkeiten wie die erste Mannschaft aufgestellt werden kann.
Für den Torwart der zweiten Mannschaft gibt es jetzt nur noch x-1 Kandidaten, denn ein Torwart wurde ja bereits in eine Mannschaft gestellt. Für jede weitere Position dieser Mannschaft gibt es ebenfalls nur noch x-1 Kandidaten.
Es gibt also (x-1)11 Möglichkeiten die zweite Mannschaft aufzustellen.
Das geht so weiter bis die x-te Mannschaft aufgestellt ist.
Insgesamt hast du (x(x-1)…1)11 Möglichkeiten die x Mannschaften aus den 11x Spielern zusammenzustellen. Zusammengefasst sind das
(x!)^{11}
Möglichkeiten. Bei 5 Mannschaften wäre das etwa 74,3 Trilliarden Möglichkeiten.
Das Ziel ist es möglichst viele Teamkombinationen zu
erstellen, die möglichst unterschiedlich sind.
Erreicht werden soll eine möglichst abwechslungsreiche
Durchmischung und möglichst viele Kombinationen (die immer
noch unterschiedlich scheinen … wobei mir nicht einmal klar
ist, wie man so eine Unterschiedlichkeit mathematisch
ausdrücken könnte).
Eine Möglichkeit wäre, zu zählen aus wievielen verschiedenen Originalmannschaften die Spieler einer Mannschaft kommen. Das hätte aber z.B. zur Folge, dass eine Mannschaft mit 10 Spielern aus Mannschaft A und einem aus Mannschaft B genauso durchmischt wäre wie eine Mannschaft mit 6 Spielern aus Mannschaft A und 5 aus Mannschaft B, denn beide hätten eine Durchmischung von 2.
Es gibt da viele Arten ein Maß für die Durchmischung festzulegen, je nachdem was Durchmischung für dich bedeutet.
Gruß
hendrik