Mathe-LK 13:
Aus einer Urne mit 20 Kugelen (13 blaue, 5 grüne, 2 rote) werden nacheinander diese 20 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen) und und dieser Reihenfolge auf eine Bahn gelegt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle blauen Kugeln nebeneinander liegen?
Die Gesamtzahl n der möglichen Fälle ist hierbei dann ja: 20!/13!5!2!= 1627920 (Mississippi-Gedanke).
Aber was sind die günstigen Fälle?
Würde mich freuen, wenn mir einer weiterhelfen könnte! Vielen Dank schon einmal!
hi,
Aus einer Urne mit 20 Kugelen (13 blaue, 5 grüne, 2 rote)
werden nacheinander diese 20 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen)
und und dieser Reihenfolge auf eine Bahn gelegt. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit, dass alle blauen Kugeln nebeneinander
liegen?
Die Gesamtzahl n der möglichen Fälle ist hierbei dann ja:
20!/13!5!2!= 1627920 (Mississippi-Gedanke).
was, bitte, ist der „mississippi-gedanke“? noch nie gehört und trotzdem überlebt …
Aber was sind die günstigen Fälle?
die günstigen fälle sind alle permutationen der 13 blauen kugeln (13!) an den positionen 1 (1 … erste blaue kugel ist erste kugel, blau von 1 bis 13), 2 (erste blaue kugel ist zweite kugel, blau von 2 bis 14) … bis position 8 (blau von 8 bis 20).
also 8 . 13!
m.
Dein Ansatz wäre richtig, wenn die Kugeln nur zweifarbig wären (z.B. 13 blaue und 7 grüne). Aber hier liegen ja 3 Farben vor. Wenn die 2. bis zur 14. blau sind, kann die erste Kugel ja rot oder grün sein… Und das sind auch beides günstige Fälle… Das ist bei mir der Knackpunkt an der Aufgabe
neu …
hi,
Aus einer Urne mit 20 Kugelen (13 blaue, 5 grüne, 2 rote)
werden nacheinander diese 20 Kugeln gezogen (ohne Zurücklegen)
und und dieser Reihenfolge auf eine Bahn gelegt. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit, dass alle blauen Kugeln nebeneinander
liegen?
Die Gesamtzahl n der möglichen Fälle ist hierbei dann ja:
20!/13!5!2!= 1627920 (Mississippi-Gedanke).
Aber was sind die günstigen Fälle?
es mischen sich hier leicht betrachtungen über einzelkugeln mit betrachtungen über ihr gruppenweises auftreten. mit deinem „mississippi“-gedanken betrachtest du gruppenweise; ich hab dazu überlegungen über einzelkugeln hineingemischt. sorry.
A) betrachten wirs mal mit 20 einzelkugeln:
A1) dann gibt es 20! möglichkeiten für ihre anordnung. du kannst die 13 blauen auf 13! und die 7 anderen auf 7! möglichkeiten anordnen. das gibt mit den 8 varianten, wo die blauen liegen können, dann eine wsk von 8.13!7! / 20!
A2) mit einem wsk-baum
der erste günstige fall ist der mit den blauen kugeln an den positionen 1 bis 13. seine wahrscheinlichkeit ist:
13/20 . 12/19 . 11/18 . … . 1/8 = 13!7! / 20!
du könntest an der ersten stelle auch eine andere kugel gezogen haben. wsk 7/20. und dann erst die 13 blauen. wsk dafür:
7/20 . 13/19 . 12/18 . … . 1/7 =
= 13/20 . 12/19 . 11/18 . … . 1/8
anschaulich! die wsk, dass die blauen von 1 bis 13 liegen ist gleich groß, wie dass sie von 2 bis 14 liegen. das macht keinen unterschied.
usw.
isgesamt also: wsk für 13 blaue beieinander =
= 8 . 13!7!/20!
B) gruppenweise
du kannst natürlich auch gruppenweise argumentieren. 20 kugeln in 3 gruppen zu 13, 5 und 2 haben - wie du richtig schreibst -
20!/(13!5!2!)
anordungen (gruppenweise; einzelkugeln nicht unterschieden)
jetzt gibts 8 möglichkeiten, die 13 blauen als gruppe beieinander zu lassen (1-13, 2-14, …, 8-20). bleiben 7 andere kugeln, nämlich 5 + 2. du kannst diese 7 kugeln auf (7 über 5) = (7 über 2) = 7!/(5!2!) möglichkeiten gruppenweise auf die restlichen 7 plätze verteilen. das ist die anzahl „deiner“ sog. „günstigen“ fälle: 8 . 7!/(5!2!)
wsk also:
8 . 7!/(5!2!) / (20!/(13!5!2!)) =
= 8!13!5!2! / (20!5!2!) = 8!13! / 20! = s.o.
hth
m.