Hallo zusammen
Ich bin gerade an einer Arbeit zu kooperativer Spieltheorie (was aber nichts mit meiner Frage zu tun hat) und bin dort bei der Formulierung eines Modelles auf ein Problem gestossen, bei dem ich nicht weiter komme. Damit ich nicht alle Details schildern muss, habe ich versucht, es in ein klassisches Kombinatorikproblem umzuformulieren. Die Frage lautet dann:
Angenommen, wir haben ein Gefäss mit blauen und roten Kugeln. Diese sind mit den Wahrscheinlichkeiten P® und P(b)=1-P® vertreten. Die Gesamtzahl muss durch zwei ohne Rest teilbar sein.
Ich zieh nun jeweils immer gleichzeitig zwei Kugeln, welche ich nicht wieder zurücklege. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an , das heisst (b,r) ist äquivalent mit (r,b). Dies bedeutet, dass insgesamt drei Kombinationen von Paaren möglich sind: (b,b), (r,r) und (r,b).
Meine Frage nun: wie berechne ich die erwartete Wahrscheinlichkeit der drei Kombinationen [P(b,b), P(r,r) und P(r,b)] in Abhängigkeit der Anfangswahrscheinlichkeit [P® resp. P(b)]?
Das müsste irgenwie mit Kombinationen/Permutationen oder Variationen zu lösen sein, ich seh aber nicht, wie genau. Ich hoffe, jemand hat in der Kombinatorik besser aufgepasst als ich und kann mir einen Tipp zur Lösung geben!
Besten Dank im Voraus
Stephan
Hi Stefan,
Die Frage lautet dann:
Angenommen, wir haben ein Gefäss mit blauen und roten Kugeln.
Diese sind mit den Wahrscheinlichkeiten P® und P(b)=1-P®
vertreten. Die Gesamtzahl muss durch zwei ohne Rest teilbar
sein.
Ich zieh nun jeweils immer gleichzeitig zwei
Kugeln, welche ich nicht wieder zurücklege. Dabei kommt es
nicht auf die Reihenfolge an , das heisst (b,r) ist
äquivalent mit (r,b). Dies bedeutet, dass insgesamt drei
Kombinationen von Paaren möglich sind: (b,b), (r,r) und (r,b).
Meine Frage nun: wie berechne ich die erwartete
Wahrscheinlichkeit der drei Kombinationen [P(b,b), P(r,r) und
P(r,b)] in Abhängigkeit der Anfangswahrscheinlichkeit
[P® resp. P(b)]?
Ob Du beide Kugeln auf einmal oder hintereinander ziehst, ist erstmal egal.
Zunächst musst Du etwas über die Gesamtzahl N wissen (sei b die Zahl der blauen und r die Zahl der roten Kugeln zu Beginn, also b + r = N):
1. N bekannt:
P(bb) = b/N * (b-1)/(N-1) = P(b) * (P(b)N-1)/(N-1)
P(rr) analog
P(br) = 2 * b/N * r/(N-1) = … (hier muss zusätzlich r bekannt sein).
2. N unbekannt, aber groß:
P(bb) = b/N * (b-1)/(N-1) ~ (b/N)² = P(b)²
P(rr) analog
P(br) = 2 * b/N * r/(N-1) ~ 2 P(b)P®.
So kannst Du auch die übrigen Züge berechnen. Hoffe, Dir damit etwas geholfen zu haben. Nur mit den Wahrscheinlichkeiten P® und P(b) erreichst Du allerdings nichts, stell Dir die beiden Szenarien vor: P®=P(b)=50% und (1) r=2, b=2 und (2) r=200, b=200. Im ersten Fall erhältst Du für P(bb) = 1/2*1/3 = 16% und im zweiten P(bb) = 1/2 * 199/200 ~ 50%!
Gruß
Sculpture