Guten Morgen liebe www’ler,
Ich bin mir bei folgendem Beweis nicht sicher alle Aspekte beachtet zu haben, weil der Beweis erscheint mir irgendwie zu simpel. Besonders beim Beweis der Surjektivität von f bin ich unsicher. Stimmt das so, wie ich es mir überlegt habe?
Voraussetzung: V ist K-Vektorraum, U Untervektorraum von V, U’ Komplement zu U in V.
Behauptung: Die Abbildung f: U’ -> V/U, x -> ist ein Isomoprphismus.
(Anmerkung: soll die Äquivalenzklasse x sein)
Beweis:
zu zeigen:
1.) f ist Vektorraumhomomorphismus
2.) f ist injektiv
3.) f ist surjektiv
1.) f ist Vektorraumhomomorphismus.
- f(x+y)= = + , weil (U,+) abelsch ist und damit U ein Normalteiler von V ist.
- Sei j € K. Dann ist f(j*x)= = j* = j*f(x)
2.)f ist injektiv.
Sei f(x) = . Wir suchen also alle x € U’, die in der Äquivalenzklasse liegen, d.h. wir suchen alle
x € U’ für die gilt: -x + 0 € U. Diese Bedingung kann nur mit x = 0 erfüllt werden (weil U’ geschnitten U = {0}), denn wäre x != 0, so wäre -x + 0 = -x € U’. Also ist f injektiv.
3.)f ist surjektiv.
Sei x € V. Dann existieren u,u’ € U bzw U’ so dass u + u’ = x.
= { x + u~ | u~ € U } = {(u+u’)+ u~ | u~ € U}
={ u’ + (u + u~)|u + u~ € U } = . Also liegt in jeder Äquivalenzklasse von x € V mind. ein Element aus U’. Also ist f surjektiv.