Komplexe Matrix A mit A*A^t=E diagbar?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
sei A eine komplexe Matrix und es gilt A*A^t=E (A^t ist die Transponierte von A).
Ist A diagonalisierbar?

Mein Problem für den Beweis ist:
A ist nicht normal, sonst könnte ich einfach den komplexen Spektralsatz anwenden und ich wüsste, dass eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren beseht, bezüglich derer A diagbar ist.
Weiß auch nicht, ob einem bei sowas Polynome weiterhelfen. Also ob man hier sehen kann, dass das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Vielen Dank
Tim

#2

Hallo,

ich kann dir zwar nicht bis zum Schluss weiterhelfen, aber vielleicht hilft dir mein Gedanke.
Wenn du bei deiner Gleichung die Determinante bildest:
det A * det (A^T) = det E
und du weißt, dass det A = det (A^T)
(det A)^2 = 1
=> det A = 1 oder -1
hilft dir das weiter?

Nico

#3

Nach meinem Wissen sagt die Determinante nichts über die Diagonalisierbarkeit aus.

#4

Hi,

natürlich ist die Matrix normal. A^t ist doch die Inverse von A, also Rechtsinverse, und da quadratische Matrix auch Linksinverse.

Gruß Lutz

#5

natürlich ist die Matrix normal. A^t ist doch die Inverse von
A, also Rechtsinverse, und da quadratische Matrix auch
Linksinverse.

Ein Endomorphismus ist dann normal, wenn er mit seiner Adjungierten kommutiert. Man müsste die Transponierte also noch komplex konjugieren, damit es nach Standardskalarprodukt die Adjungierte ist. Aber das kann man im Komplexen ja nicht so einfach machen wie im Reellen.

#6

Spezialfall relle Matrix
Hallo,
also eine komplexe Matrix mit AA^t=E kann man wohl im Allgemeinen nicht diagonalisieren.

Aber wenn A nur reelle Einträge hat, dann kann man schon, wenn man zeigen kann, dass alle Eigenwerte reell sind.

Weiß jemand wie man das zeigen könnte?

#7

Hallo,
sei A eine komplexe Matrix und es gilt A*A^t=E (A^t ist die
Transponierte von A).
Ist A diagonalisierbar?

Hi Tim,

ich fürchte ich kann dir die Frage auch nicht vollständig beantworten, aber vielleicht hilft dir folgendes weiter. Angenommen A ließe sich diagonalisieren, also A=SDS-1. Dann gilt
E=AAT=SDS-1S-TDTST=SS-1DDTS-TST=DDT=D2
Daraus folgt, dass jeder Eintrag von D nur 1 oder -1 sein kann. Ist also ein Eigenwert von A ungleich +/- 1, dann lässt sich A nicht diagonalisieren.

Gruß

hendrik

#8

Hi,

selber Fehler wie bei mir, plus noch ein Zusatzfehler: Die Ausgangsmatrix A ist komplex, d.h. auch die Transformationsmatrix für die Jordan-Normalform wird fast sicher komplex sein, d.h. das Beste zu Erwartende wäre eine unitäre Matrix. Dann ist aber die Transponierte nicht die Inverse.

Und: Die Transformationsmatrix für die Jordan-Normalform muss, im Allgemeinen, nicht orthogonal sein. Das kann nur für normale Matrizen erreicht werden.

Weiterhin ratlos, Lutz

#9

Dann ist aber die Transponierte nicht die Inverse.

Hi Lutz,

dass die Transponierte die Inverse sein soll, war doch vom Fragesteller schon vorgegeben.

Und: Die Transformationsmatrix für die Jordan-Normalform muss,
im Allgemeinen, nicht orthogonal sein. Das kann nur für
normale Matrizen erreicht werden.

Ich verstehe nicht was dieser Einwand mit meiner Antwort zu tun hat. Ich habe die Jordansche Normalform gar nicht verwendet, und ich habe auch nirgends ausgenutzt, dass irgendeine Matrix orthogonal ist. Oder übersehe ich da was?

Gruß

hendrik

#10

Hi,

Du nimmst an, dass A sich diagonalisieren lässt. Die Formel dazu ist die Jordansche Normalform.

Beim Einsetzen in die gegebene Gleichung und Umformen verwendest Du, dass S^T die Inverse zu S ist, genauer dass S^-T und S^-1 sich gegenseitig wegheben. Das gilt aber nur für orthogonale Matrizen bzw. deren komplexifizierte Version.

D.h., neben der Diagonalisierbarkeitsannahme sind zwei weitere heftige Annahmen eingebaut, die nicht aus der Aufgabenstellung folgen.

Gruß Lutz

#11

Du nimmst an, dass A sich diagonalisieren lässt. Die Formel
dazu ist die Jordansche Normalform.

Hi Lutz,

bei der Jordanschen Normalform handelt es sich im Allgemeinen nicht um eine Diagonalisierung. Lediglich wenn bei jedem Eigenwert die geometrische Vielfachheit der algebraischen Vielfachheit entspricht, entsteht eine Diagonalmatrix, ansonsten enthalten die Nebendiagonalen der Jordankästchen Einsen deren Anzahl die Differenz der Vielfachheiten angibt.

Beim Einsetzen in die gegebene Gleichung und Umformen
verwendest Du, dass S^T die Inverse zu S ist, genauer dass
S^-T und S^-1 sich gegenseitig wegheben.

Nein, ich habe D mit S-1 und S-T mit DT vertauscht. Das geht immer, weil Diagonalmatrizen mit jeder anderen Matrix vertauschen. Danach heben sich S und S-1 weg, genauso wie S-T und ST.

Gruß

hendrik

#12

Nein, ich habe D mit S^-1 und S^-T mit D^T vertauscht. Das geht immer, weil Diagonalmatrizen mit jeder anderen Matrix vertauschen. Danach heben sich S und S^-1 weg, genauso wie S^-T und S^T.

Hi,

Sorry, aber: Aua.

Das gilt so allgemein nur, wenn die Diagonalmatrix D eine konstante Diagonale hat, d.h. eine Vielfache der Einheitsmatrix ist.

Gegenprobe: Wenn Deine Behauptung stimmt, dann wäre jede diagonalisierbare Matrix ja schon von vornherein diagonal.

Gruß Lutz

#13

Das gilt so allgemein nur, wenn die Diagonalmatrix D eine
konstante Diagonale hat, d.h. eine Vielfache der
Einheitsmatrix ist.

Gegenprobe: Wenn Deine Behauptung stimmt, dann wäre jede
diagonalisierbare Matrix ja schon von vornherein diagonal.

Stimmt, das leuchtet ein. Ich hoffe, unser Dialog hat beim Fragesteller nicht zu viel Verwirrung gestiftet.

Gruß

hendrik