Komplexe Mengen

[Brayn]

Hallo,

Ich soll eine Menge zeichnen. Hier mal die Aufgabe: M = {Re(z)+Im(z konj.)= (i^4 - Re(z) * Im(z)) / Im(z)}

Nun komme ich an einer Stelle nicht mehr weiter.

Hier mal mein Weg bis dort hin.

z = x+iy
Re(z) = Re(x+i*(y+0)) = x
Im(z) = Im(x+i*(y-0)) = y
Re(z konj.) = Re(x+i*(y±0)) = x
Im(z konj.) = Im(x+i*(y±0)) = -y (ist dass noch richtig?)

=> x-y = (i^4 - xy) / y
=> x-y = (1 - xy) / y
=> x-y = 1/y - x |+x , +y
=> 2x = 1/y + y |*y , -2x
=> y² - 2xy + 1 = 0 |quad. Ergänzung
=> (y-x)² -x²+1 = 0

=> entweder: (y-x)² + Wurzel aus (x²+1)
oder: (y-x)² - Wurzel aus (x²+1)

hier steck ich aber jetzt fest, kann mir bitte jemand sagen ob es bis da hin richtig ist und wie ich jetzt weiter machen könnte.

Danke schon mal im vorraus

liebe Grüße Matthias

[Hendrik_70c5fb]

Hallo,

Hallo

Ich soll eine Menge zeichnen. Hier mal die Aufgabe: M =
{Re(z)+Im(z konj.)= (i^4 - Re(z) * Im(z)) / Im(z)}

=> x-y = (1 - xy) / y

Das sieht schon mal gut aus. Daraus entsteht die quadratische Gleichung
y²-2xy+1=0.
Die Lösungen dieser Gleichung sind

y=x+\sqrt{x^2-1}

und

y=x-\sqrt{x^2-1}

für |x|≥1.
Wenn du dir die komplexe Ebene als Koordinatensystem mit x- und y-Achse vorstellst, dann besteht M aus den Graphen dieser beiden Funktionen.

Gruß

hendrik

[Che_Netzer]

Im(z konj.) = Im(x+i*(y±0)) = -y (ist dass noch richtig?)

Das (mit einem s) ist zwar im Endergebnis richtig, aber mit dem „±0“ Unsinn. Was soll das überhaupt heißen?
Das wäre ganz einfach Im(x-yi) = -y

=> entweder: (y-x)² + Wurzel aus (x²+1)
oder: (y-x)² - Wurzel aus (x²+1)

Das soll was sein?

Ich würde ja empfehlen, x in Abhängigkeit von y zu notieren, oder umgekehrt. Dann kann man einen beiebigen Imaginärteil wählen und dazu den Realteil bestimmen, sodass die Gleichung erfüllt ist. Also einfach eine Art Funktion. Darüber kann man dann die Menge skizzieren.
Und an x in Abhängigkeit von y warst du schon sehr nahe dran.

mfg,
Ché Netzer

[Brayn]

Hallo Che Netzer,

Im(z konj.) = Im(x+i*(y±0)) = -y (ist dass noch richtig?)
Das (mit einem s) ist zwar im Endergebnis richtig, aber mit dem „±0“ Unsinn. Was soll das überhaupt heißen? Das wäre ganz einfach Im(x-yi) = -y

richtig, nur ziemlich ausführlich geschrieben, da die Grundform z = x + iy ist, kann man z.B. Im(z-3+2i) leichter zu: Im(x-3+i(y+2)) umschreiben was wiederum in kurzschreibweise: y+2 wäre!

=> entweder: (y-x)² + Wurzel aus (x²+1) oder: (y-x)² - Wurzel aus (x²+1)
Das soll was sein?

Das Ergebnis einer quadratischen Ergänzung, oder auch bekannt unter abc-Formel oder p-q- Formel (ähnliche vorgehensweiße)

Ich würde ja empfehlen, x in Abhängigkeit von y zu notieren, oder umgekehrt. Dann kann man einen beiebigen Imaginärteil wählen und dazu den Realteil bestimmen, sodass die Gleichung erfüllt ist. Also einfach eine Art Funktion. Darüber kann man dann die Menge skizzieren. Und an x in Abhängigkeit von y warst du schon sehr nahe dran.

Das hatte ich auch vor, doch mit x-y = 1/y - x wie komme ich da sonst auf eine normale Funktion?
Sobald ich nach y auflöse erhalte ich 2x = 1/y + y.
Das ist aber nicht die Art eine Abhängigkeit zu formulieren, mich interessiert nicht 1/y + y sondern nur y! Dafür benötige ich nun mal die quadratische Ergänzung oder etwa nicht?

Gruß Matthias

[Brayn]

Hey,

heißt das, dass alles richtig ist und ich nur noch zeichnen muss, das wäre ja super

Wenn ich das gerade so sehe,

y = x+ Wurzel aus (x^2-1)

dann kommen mir noch zwei Fragen.

Erstens,
warum bekomme ich immer wieder x^2+1 du hast aber -1 und

Zweitens,
ich hatte zuvor:

=> (y-x)² -x²+1 = 0

also -x²+1
hier habe ich aber das minus vor dem x² vergessen,

=> entweder: (y-x) + Wurzel aus (x²+1)
oder: (y-x) - Wurzel aus (x²+1)

wäre das hier also richtig?
y = x + Wurzel aus (-x^2+1)
und
y = x - Wurzel aus (-x^2+1)

danke nochmal

liebe Grüße Matthias

[Che_Netzer]

richtig, nur ziemlich ausführlich geschrieben, da die
Grundform z = x + iy ist, kann man z.B. Im(z-3+2i) leichter
zu: Im(x-3+i(y+2)) umschreiben was wiederum in
kurzschreibweise: y+2 wäre!

Und? Was hat das mit der Schreibweise mit „±0“ zu tun?

=> entweder: (y-x)² + Wurzel aus (x²+1) oder: (y-x)² - Wurzel aus (x²+1)

Das soll was sein?

Das Ergebnis einer quadratischen Ergänzung, oder auch bekannt
unter abc-Formel oder p-q- Formel (ähnliche vorgehensweiße)

Also die Nullstellen?

Das hatte ich auch vor, doch mit x-y = 1/y - x wie komme ich
da sonst auf eine normale Funktion?
Sobald ich nach y auflöse erhalte ich 2x = 1/y + y.
Das ist aber nicht die Art eine Abhängigkeit zu formulieren,
mich interessiert nicht 1/y + y sondern nur y! Dafür benötige
ich nun mal die quadratische Ergänzung oder etwa nicht?

Ich würde behaupten, x(y) ist genauso ausreichend. Wenn du am Ende x = (1/y + y)/2 hast, definierst du so dein x(y) und die Menge ist folgende:
{x+iy | x = x(y), y in R}
Beim Zeichnen kannst du dann die x-Achse für den Imaginärteil benutzen.

mfg,
Ché Netzer

[Brayn]

Hallo,

Und? Was hat das mit der Schreibweise mit „±0“ zu tun?

Nun, da z = x + iy ist so und Im(z konj.) = x ± „kein Realteil“ + i (y ± „kein Imaginärteil“) enthält kann ja sein dass ich was falsch mache, aber schau dir nochmal das Beispiel an

Im(z-3+2i)

Hier gibt es kein „±0“ da es einen negativen Realteil gibt und einen positiven Imaginärteil.

Also die Nullstellen?

so zu sagen. Wie gesagt, ich habe die quadratische Ergänzung wegen der Abhängigkeit gemacht. Du hast doch geschrieben:

Ich würde behaupten, x(y) ist genauso ausreichend. Wenn du am Ende x = (1/y + y)/2 hast, definierst du so dein x(y) und die Menge ist folgende:
{x+iy | x = x(y), y in R}
Beim Zeichnen kannst du dann die x-Achse für den Imaginärteil benutzen.

Jetzt habe ich fünf Graphen und weiß nicht welcher richtig ist, einer den du sozusagen gemacht hast. f(x)= (1/x+x)/2
und vier durch die quadratische ergänzung, normalerweise nur zwei aber ich weiß nicht was mit dem minus geschieht (Frage an Hendrik)

Ich habe mal alle Funktionen geplodet
hier der Link: http://www.img-box.de/99623/
blau: f(x)= (1/x+x)/2
rot: f(x)= x + Wurzel aus (x²+1)
schwarz: f(x)= x - Wurzel aus (x²+1)
grün: f(x)= x + Wurzel aus (-x²+1)
lila: f(x)= x - Wurzel aus (-x²+1)

Wie du siehst, ist keine Funktion mit einer anderen identisch, welche ist jetzt richtig?

liebe Grüße Matthias

[Che_Netzer]

Hallo,

Und? Was hat das mit der Schreibweise mit „±0“ zu tun?

Nun, da z = x + iy ist so und Im(z konj.) = x ± „kein
Realteil“ + i (y ± „kein Imaginärteil“) enthält

Was soll dieses ± überhaupt sein? \pm? Wenn ja, dann hätte „±0“ doch absolut keine Auswirkung.

kann ja sein
dass ich was falsch mache, aber schau dir nochmal das Beispiel
an

Im(z-3+2i)

Hier gibt es kein „±0“ da es einen negativen Realteil gibt
und einen positiven Imaginärteil.

Das hängt ganz von z ab. Wenn z = 5 - 3i, ist z-3+2i = 2-i, mit positivem Realteil und negativem Imaginärteil.

Jetzt habe ich fünf Graphen und weiß nicht welcher richtig
ist, einer den du sozusagen gemacht hast. f(x)= (1/x+x)/2
und vier durch die quadratische ergänzung, normalerweise nur
zwei aber ich weiß nicht was mit dem minus geschieht (Frage an
Hendrik)

Ich habe mal alle Funktionen geplodet
hier der Link: http://www.img-box.de/99623/
blau: f(x)= (1/x+x)/2
rot: f(x)= x + Wurzel aus (x²+1)
schwarz: f(x)= x - Wurzel aus (x²+1)
grün: f(x)= x + Wurzel aus (-x²+1)
lila: f(x)= x - Wurzel aus (-x²+1)

Wie du siehst, ist keine Funktion mit einer anderen identisch,
welche ist jetzt richtig?

Ich benenne die Funktionen mal nach Farbe
blau(1) = 1 dürfte klar sein. D.h. die Zahl 1+1i (blau(1)+1i) sollte die Gleichungerfüllen
1 -1 = (1-1*1)/1 stimmt offenbar.

rot(0)=1
also z = 0 +1i
Re(z)=0
Im(z)=1
Im(z konj.) = -1
-1 = (1-1*0)/1
-1 = 1
rot stimmt offenbar nicht.

schwarz(0)=-1
0-1i
Re(z)=0
Im(z)=-1
Im(z konj.) = 1
0+1=(1-0*(-1))/-1
1 = -1
schwarz stimmt offenbar nicht.

Da grün(0)=rot(0) und lila(0)=schwarz(0) können diese Funktionen auch nicht stimmen.

Ich gehe jedenfalls davon aus, dass bei diesen Funktionen der Funktionswert den Imaginärteil darstellt, da dieser nicht 0 sein darf.

Jetzt müsstest du nur noch ausprobieren, ob die Gleichung für z = blau(x) + xi stimmt, wenn x beliebig (ungleich 0) aus R gewählt werden darf.

mfg,
Ché Netzer

[Hendrik_70c5fb]

warum bekomme ich immer wieder x^2+1 du hast aber -1 und

Ich mache mal die Umformungen Schritt für Schritt.
x-y=(1-xy)/y
(x-y)y=1-xy
xy-y²=1-xy
0=y²-2xy+1

Und ja, du musst eigentlich nur noch die Graphen von
y=x+Wurzel(x²-1)
und
y=x-Wurzel(x²-1)
zeichnen, dann hast du M.

Gruß

hendrik

[Martin]

Hallo Hendrik,

0=y²-2xy+1

es wäre auch legitim, die Gleichung nach x auflösen, und einfacher, weil sie in x nur linear ist.

x = \frac{y^2 + 1}{2 y}

Und mit Mut zu einer kreativen Variante für die Anfertigung der grafischen Darstellung der Menge: Funktion (x² + 1)/(2x) von einem Plotprogramm zeichnen lassen, auf Folie ausdrucken, ausschneiden, Folie mit der ersten Winkelhalbierenden als Achse umdrehen und so mit der Rückseite zuoberst auf ein Blatt Papier kleben. An die waagerechte Achse „Re“ schreiben, an die senkrechte „Im“. So kann man zeigen, dass man die Sache mit der Umkehrfunktion verstanden hat.

Allerdings hat das Auflösen nach y auch einen kleinen Mehrwerteffekt: Man kann am Ergebnis direkt ablesen, dass alle Zahlen, deren Realteil zwischen –1 und 1 liegt, nicht in der Lösungsmenge enthalten sind. Dieser Sachverhalt bleibt einem beim Auflösen nach x verborgen.

Gruß
Martin

[Che_Netzer]

es wäre auch legitim, die Gleichung nach x auflösen, und
einfacher, weil sie in x nur linear ist.

Das hatte ich auch schon gesagt.

von einem Plotprogramm zeichnen lassen, auf Folie ausdrucken,
ausschneiden, Folie mit der ersten Winkelhalbierenden als
Achse umdrehen und so mit der Rückseite zuoberst auf ein Blatt
Papier kleben. An die waagerechte Achse „Re“ schreiben, an die
senkrechte „Im“. So kann man zeigen, dass man die Sache mit
der Umkehrfunktion verstanden hat.

Wozu denn so umständlich? Man kann einfach die waagerechte Achse mit „Im“ beschriften.

Allerdings hat das Auflösen nach y auch einen kleinen
Mehrwerteffekt: Man kann am Ergebnis direkt ablesen, dass alle
Zahlen, deren Realteil zwischen –1 und 1 liegt, nicht in der
Lösungsmenge enthalten sind. Dieser Sachverhalt bleibt einem
beim Auflösen nach x verborgen.

Der Fragesteller hat das ja schon plotten lassen:
http://www.img-box.de/99623/
Das blaue ist die von mir vorgeschlagene Funktion, nach x aufgelöst. Da sieht man auch recht gut, dass (-1,1) nicht im Bildbereich liegt, d.h. der Realteil betragsmäßig größer gleich 1 sein muss.

mfg,
Ché Netzer

[Martin]

Hallo Ché,

Das hatte ich auch schon gesagt.

upps, wie mir gerade gewahr wurde, habe ich ausgerechnet Deine Re^3-Antwort zu lesen versäumt. Tschuldigung. Sonst hätte ich auf diese verwiesen.

Wozu denn so umständlich? Man kann einfach die waagerechte
Achse mit „Im“ beschriften.

Kann man, aber ich zumindest würde das Ding bequemlichkeitshalber auch gerne in der üblichen Optik sehen wollen, d. h. mit waagerechter Re- und senkrechter Im-Achse. Irgendeine neue Information wird durch das Umklappen natürlich nicht erzeugt; es ändert nur die Darstellung.

Da sieht man auch recht gut, dass (-1,1) nicht im Bildbereich liegt,
d.h. der Realteil betragsmäßig größer gleich 1 sein muss.

Passt

Schönen Sonntag
Martin

[Brayn]

Hallo Martin,

Allerdings hat das Auflösen nach y auch einen kleinen Mehrwerteffekt: Man kann am Ergebnis direkt ablesen, dass alle Zahlen, deren Realteil zwischen –1 und 1 liegt, nicht in der Lösungsmenge enthalten sind. Dieser Sachverhalt bleibt einem beim Auflösen nach x verborgen.

Hab ich auch gemerkt nämlich durch die Wurzel nach der quadratischen Ergänzung fällt einem dann auf, dass die differenz unter der Wurzel, die kleiner irgendwann kleiner als Null wird, nicht definiert ist.

lg Matthias

[Brayn]

Lösung
Hallo an alle,

ich habe die Lösung heute Vormittag geknackt ^^
Also, Ché und Hendrik hatten recht.

Die von mir zuvor geplodette blaue Funktion (Ché’s Umkehrfunktion) stimmt absolut mit Hendriks Funktionen überein. So wie ich es zuvor gemacht habe, das war der weg von Hendrik, da wird einem dann auch nochmal klar warum der bereich von -1 bis 1 nicht definiert ist (wegen der Wurzel(genauere Erklärung bei Martins erste Antwort))

Also wenn man sich die blaue Funktion (http://www.img-box.de/99623/) als Umkehrfunktion vorstellt was letztendlich auch Ché die ganze Zeit schon sagte, ich es nur nicht verstanden habe Upps dann sieht man, dass die beiden Funktionen absolut identisch sind.

Danke nochmal dass ihr euch so viel Zeit für mich genommen habt, schöne Feiertage und
liebe Grüße Matthias