Hi zusammen,
ich beschäftige mich grad etwas mit den komplexen Zahlen, speziell mit den komplexen Nullstellen von Polynomen.
In IR kann man eine Nullstelle graphisch als Schnittpunkt der x-Achse mit dem Graphen im kartesischen Koordinatensystem interpretieren.
Gibt es so eine graphische Interpretation auch für komlexe Nullstellen? Wenn ich die in die Gaußebene einzeichne stehen die da auf den ersten Blick etwas unmotiviert herum.
Grüße
powerblue
Hi zusammen,
Hallo!
Gibt es so eine graphische Interpretation auch für komlexe
Nullstellen? Wenn ich die in die Gaußebene einzeichne stehen
die da auf den ersten Blick etwas unmotiviert herum.
Eine Funktion von C nach R kannst du als dreidimensionales Schaubild darstellen, mit der senkrechten Achse als Skala für die Funktionswerte. Die Nullstellen sind dann die gemeinsamen Punkte des Graphen mit der komplexen Ebene.
Bei einer Funktion von C nach C wäre so ein Schaubild vierdimensional, das lässt sich so nicht mehr darstellen. Wenn du dir die Nullstellen eines reellen Polynoms aber in die komplexe Ebene einzeichnest, wirst du feststellen, dass die komplexen Nullstellen immer in Paaren von zueinander an der reellen Achse gespiegelten Punkten auftreten. Solche Zahlen nennt man komplex konjugiert zueinander. Das Produkt der Linearfaktoren zweier komplex konjugierter Zahlen ist ein reelles quadratisches Polynom, so dass man sagen kann, dass jedes reelle Polynom das Produkt von linearen und quaratischen reellen Polynomen ist, wobei die quadratischen Polynome keine reellen Nullstellen haben.
Gruß
hendrik
Ersteinmal sieh dir den Graphen von x(x²+1) an:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28x%5E2%2B1%29
Dort siehst du nur die reelle Nullstelle, weißt aber, dass i und -i auch Nullstellen sind. allerdings kannst du die im Graphen natürlich nicht finden, da der Definitionsbereich reell ist.
Jetzt die nächste Funktion:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28a%2Bbi%29%28…
Hier habe ich x als a+bi geschrieben, also einen komplexen Definitionsbereich gewählt.
Jetzt sieht man eine Fläche als Funktionsgraphen. Die „Scheibe“ für b=0 ist der Graph der reellen Funktion.
Außerdem erkennt man, dass es Nullstellen für a=0;b=0,i,-i gibt.
Das wäre die einzige geometrische Interpretation von komplexen Nullstellen, die ich anzubieten hätte. D.h. du „drehst“ dein zweidimensionales Koordinatensystem und stellst neben die „reelle Scheibe“ noch ganz viele andere für komplexe Zahlen.
mfg,
Ché Netzer
D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach
http://www.cs.amherst.edu/~djv/ ziemlich ganz unten.
Ist zwar auf englisch, aber hat mehrere Darstellungsweisen für komplexe Nullstellen.
Gruß Lutz
Hi Che,
ja, so in der Art hatte ich mir das vorgestellt. Danke.
Hi Hendrik,
Danke für die schnelle Antwort.
Ich war schon dabei mit deiner Antwort selbst eine Grafik zu bauen. Zum Glück war das mit der Antwort von Che dann nicht mehr notwendig.
Grüße
powerblue
Hi Lutz,
das ist ja mal eine abgedrehte Darstellung, das mit den Farben ist eine coole Idee finde ich. Obwohl ich da schon nen Moment gebraucht habe, damit klar zu kommen…
Kann man das auch so interpretieren, dass die komplexe Ebene eine Relation ist, die farblich Elemente enthält, die jeweilige Funktion eine Permutation ist, und die Darstellung des Funktionsergebnisses das Ergebnis der Permutation ist?