Hi
Wie berechnet man z^4=i ?
Wir haben in der Vorlesung was gemacht zu z^n=1 aber ich kann die Schritte nicht auf diese Aufgabe nachvollziehen!
Geht das genauso oder ist das wieder was anderes?
Danke und Gruß
Julia
Hallo Julia,
im Prinzip geht es genauso:
Um die vierten Einheitswurzeln von 1 zu bestimmen, schreibst Du doch
1 = e0 = e2πi = e4πi = e6πi = e8πi …
Dann ziehst Du einfach ganz normal die Wurzel:
(e0)1/4 = e0/4=1;
e2πi/4=eπi/2=i;
e4πi/4=–1; e6πi/4=–i;
und dann fängt’s wieder von vorn an.
Bei i=eπi/2 machst Du’s ganz genauso: addierst Vielfache von 2πi im Exponenten, ziehst die vierte Wurzel, indem Du den Exponenten mit 1/4 multiplizierst; falls gefordert, rechnest Du’s noch in die Form a+bi um, und fertig!
Liebe Grüße,
Immo
hi,
Wie berechnet man z^4=i ?
rechne i in polarkoordinaten um; zieh die 4-te wurzel aus dem betrag und teile den winkel (in seinen verschiedenen interpretationen) durch 4.
i = (1; 90°) = (1; 450°) = …
z1 = (1; 22,5°)
z2 = (1; 112,5°)
z3 = …
z4 = …
läuft auf das gleiche raus wie die andere lösung; ist nur ein bisschen weniger mathematisch, dafür ein bisschen anschaulicher geschrieben.
m.
Hallo!
ich komm nicht ganz mit!
wieso ist i=e^i*pi/2?
wir habens inner vorlesung mit ner formel von moivre gemacht, mit der ich nicht weiter komme!
ich komme auch nicht auf die ergebnisse… ;(
und das was der m geschrieben hat versteh ich auch nicht so ganz!
wie i in polarform umschreiben?etwa z=0+1*i ?
ich weiss es nicht …
Hallo Julia,
wieso ist i=e^i*pi/2?
wir habens inner vorlesung mit ner formel von moivre gemacht,
mit der ich nicht weiter komme!
Moivre sagt eiφ = cos(φ) + i sin(φ). Dann weißt Du noch, dass Du jede komplexe Zahl z schreiben kannst als z = |z|*eiarg(z), wobei |z| der Betrag von z ist (Realteil²+Imaginärteil², daraus die Wurzel) und arg(z) das Argument (ergibt sich aus Moivre).
Rechnen wir zunächst den Betrag von i aus: Re(i)=0, Im(i)=1, also |i| = Wurzel(0²+1²)=1. Schön, also i = 1*eiarg(i). Und jetzt Moivre:
i = ei*arg(i) = cos(arg(i)) + i*sin(arg(i)). Wir suchen also eine Zahl arg(i) – von mir aus kannst Du auch φ schreiben, wenn Du’s schöner findest –, deren Kosinus 0 ist und deren Sinus 1 ist, denn i = 0 + 1*i, wie Du schon richtig schreibst. Also: Sinus soll 1 sein, das ist ja für (π/2 + 2kπ) mit beliebiger ganzer Zahl k erfüllt; und dass der Kosinus 0 ist, gilt dann von allein.
Du hast nun also i = eπi/2 + 2kπi mathematisch hergeleitet.
Einfacher geht’s natürlich in der Gauß’schen Zahlenebene, das ist das Koordinatensystem, wo man die komplexen Zahlen immer einzeichnet und wo die Horizontale Achse den Realteil und die vertikale Achse den Imaginärteil angibt. Du kannst die Zahl nun entweder als Punkt oder (meine Empfehlung) als Ortsvektor dieses Punktes eintragen. Der Betrag der Zahl ist dann der Betrag des Vektors (also die Länge des Pfeils), und das Argument ist der Winkel, den der Vektor mit der positiven reellen Achse bildet.
Da der Ortsvektor von i die Länge 1 hat und senkrecht nach oben zeigt (d.h. +90° zur positiven reellen Achse), kannst Du Betrag und Argument sofort ablesen.
ich komme auch nicht auf die ergebnisse… ;(
Da musst Du noch mal genauer schreiben, was Du machst und worauf Du kommst, dann kann ich Dein Problem erkennen und Dir hoffentlich helfen.
und das was der m geschrieben hat versteh ich auch nicht so
ganz!
wie i in polarform umschreiben?etwa z=0+1*i ?
Das, was eigentlich unter dem Begriff „Polarform“ läuft, ist die Form z = |z|*ei*arg(z), die wir oben hergeleitet haben. Was Michael beschreibt, sind die Polarkoordinaten der Gauß’schen Zahlenebene. Ich kann ja jeden Punkt einer Ebene nicht nur als (x,y) angeben, sondern auch (r,φ), wobei r der Abstand zum Ursprung ist und φ der Winkel, den der Strahl vom Ursprung durch den Punkt mit der positiven x-Achse einschließt. Du siehst, im Prinzip ist es dasselbe, nur eine Unterschiedliche Herangehensweise.
Und um nun die vierte Wurzel zu ziehen, kannst Du entweder algebraisch vorgehen, wie ich es beschrieben habe, denn schließlich weißt Du ja, dass die n-te Wurzel aus x nichts anderes ist als x1/n und dass (ab)c = abc sowie (a*b)c = ac*bc gelten, und das kannst Du nun auf Dein z loslassen:
n-te Wurzel aus z = z1/n
= (|z|*eiarg(z))1/n
= |z|1/n*(eiarg(z))1/n
= |z|1/n*eiarg(z)/n
und dabei nicht vergessen, dass arg(z) nur bis auf Vielfache von 2π genau bestimmt ist;
oder Du kannst den geometrischen Zugang wählen, dazu musst Du allerdings wissen, wie Du zwei Zahlen in der Zahlenebene multiplizierst: Du multiplizierst ihre Beträge (d.h. der Produktvektor ist so lang wie das Produkt der Längen der Faktoren) und addierst ihre Winkel. Nun überlegst Du, was denn die Wurzel sei: Du suchst einen Vektor, den Du mit sich selbst multiplizierst, um den gegebenen Vektor zu erhalten. Das Quadrat des Betrages muss also der Betrag der gegebenen Zahl sein, also hieraus die Wurzel ziehen (spielt fürs Beispiel keine Rolle, der Betrag ist eh 1); und der Winkel muss zu sich selbst addiert der gegebene Winkel sein, d.h. Deine Wurzel hat den halben Winkel. Entsprechend kommst Du bei n-ten Wurzeln auf den n-ten Teil des Winkels.
Aber auch hierbei darfst Du nicht vergessen, dass der Winkel immer nur bis auf Vielfache von 2π genau bestimmt ist.
Liebe Grüße,
Immo
Hallo,
wieso ist i=e^i*pi/2?
ei φ = cos(φ) + i sin(φ) [
]
⇒ ei π/2 = cos(π/2) + i sin(π/2) = 0 + i · 1 = i
Die „Eulerformel“ [] ist derart bedeutsam, dass Du sie Dir merken und jederzeit „aus dem EffEff“ parat haben solltest.
wie i in polarform umschreiben?etwa z=0+1*i ?
Nein, wie oben: i = ei π/2.
z = 0 + 1*i, oder allgemein z = a + b i, wäre ja die kartesische Form.
Gruß
Martin
BOA! Hammer!
Vielen lieben dank Immo, für diese ausführlich Erklärung!
Ich denke ich habs jetzt gecheckt!
Setz mich da mal gleich wieder ran und probiers aus!
Falls noch was sein sollte meld ich mich 
!
Danke
Julia