Hi!
sitze gerade vor meiner m-hausaufgabe und komme bei folgender aufgabe einfach nicht weiter:
Stelle die 5 Werte z1,z2,z3,z4,z5 der „Einheitswurzel“ 1^(1/5)[=5.Wurzel aus 1] in Polarform und Binomialform dar. Das Produkt zi*zk zweier solcher Werte ist wieder eine dieser Einheitswurzeln. Begründe das!
Könnt ihr mir einen Ansatz zeigen???
Danke
-Gregor
ich versuchs
Deine Lösungen liegen auf dem Einheitskreis, eine Lösung ist 1+0j (bzw. 1+0i, je nachdem wie ihr das nennt).
Allgemeine Lösungsformel:
z_k = n-te-Wurzel(b)*[cos((2*k*PI+a)/n)+j*sin((2*PI*k+a)/n)]
wobei bei Dir n = 5 ist
b steht für den Betrag Deiner Zahl, also b = 1
a steht für den Winkel zwischen x-Achse und dem Vektor der zu deiner Zahl 1 führt, also a = 0 wodurch sich das wie folgt vereinfachen müsste:
z_k = 1*[cos(2*k*PI/5)+j*sin(2*k*PI/5)]
wenn Du das jetzt fünf Mal durchrechnest und zwar für k=0, k=1, … k=4 dann müssten einmal eins und zweimal zwei konjugiert komplexe zahlen rauskommen (also x+jy und x-jy).
Ich glaube diese Darstellung in kartesischen Koordinaten nennt man Binomialform.
Die Polarform wäre dann die Darstellung mit Betrag und Winkel, das ist mit der obigen Darstellung nicht so schwer, denn der Betrag ist ja immer 1 und der Winkel ist das was bei cos bzw sin in der Klammer steht. Also wäre die Polarform:
BETRAG * (cos (WINKEL) +jsin(WINKEL) ) = BETRAG * exp(WINKEL)
Hoffe das hilft und ist richtig.
Flexie
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hallo!
zuerst mal vielen dank für die antworten!
wir haben das ganze wie folgt gelöst:
Z=(r;ß)
Z^(1/n)=(r;ß)^(1/n)=[r^(1/n);(1/n)(ß+k*360°)]
r ist 1 und n=5
k kann 0,1,2,3 oder 4 sein!
und jetzt muss man das nur mehr einsetzen, dann hat man schon die Polarform:
k=0 ß1=0° Z0(1;0°)
k=1 ß2=72° Z1(1;72°)
k=2 ß3=144° Z2(1;144°)
k=3 ß4=216° Z3=(1;216°)
k=4 ß5=288° Z4=(1;288°)
Das ganze in Binomialform (Z=a+bi) muss man dann nur noch für jedes Z in die folgende Formeln einsetzen um a und b zu erhalten:
a=r*cosß
b=r*sinß
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