Hallo!
Ich grübele an foldender Aufgabe:
Bestimmen Sie alle (komplexen) Lösungen von z^2+2z+10=0
Mein Ansatz:
z = x+iy
Dann komme ich zu:
x^2 + 2xyi + i^2y^2 + 2x + 2yi = -10
bei i^2=1 erhält man so:
x^2 + 2xyi -y^2 + 2x + 2yi = -10
Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Im Voraus vielen Dank!
A. de Melo
Hallo.
Ich bin etwas naiver vorgegangen und habe x²+2x+10=0 (kein z als x+iy) mit der pg-Formel berechnet:
p=2 q=10
x1/2 = - p/2 +/- Sqrt ((p^2/4) + q)
-1 +/- Sqrt(-9)
= -1 +/- 3i
–> x1 = -1 + 3i x2=-1-3i
–> x= -1 y=3 (?)
Wer Fehler findet, darf sie behalten 
HTH
mfg M.L.
Hallo Alessandro!
Bestimmen Sie alle (komplexen) Lösungen von z^2+2z+10=0
Das deutet schon darauf hin, dass die Lösung nicht eindeutig ist. Kein Wunder, komplexe Zahlen sind ja in gewisser Weise „zweidimensional“, wie wir gleich sehen werden.
Mein Ansatz:
z = x+iy
Passt.
Dann komme ich zu:
x^2 + 2xyi + i^2y^2 + 2x + 2yi = -10
bei i^2=1 erhält man so:
Kleiner Tippfehler, aber gleich stimmts wieder.
x^2 + 2xyi -y^2 + 2x + 2yi = -10
Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?
Offensichtlich ist die rechte Seite reell, d.h. sie hat keinen Imaginärteil. Das muss dann auch für die linke Seite gelten:
2xy + 2y = 0
Analog kannst Du eine Gleichung für den Realteil aufstellen.
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kannst Du alleine?
Gruß
Arndt
Außer dem Tippfehler in der 4. Zeile (nicht +, sondern -q) stimmts ja auch. kann ja auch nur 2 lösungen (im komplexen haben), weil wir es mit einer Funktion zweiten grades zu tun haben. und wie wir ja alle wissen hat eine funktion n-ten grades genau n nullstellen in |C.
Gruß
Christina
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo.
Ich bin etwas naiver vorgegangen und habe x²+2x+10=0 (kein z
als x+iy) mit der pg-Formel berechnet:
p=2 q=10
-1 +/- Sqrt(-9)
= -1 +/- 3i
–> x1 = -1 + 3i x2=-1-3i
–> x= -1 y=3 (?)
Erst mal danke für eure Unterstützung!
Aber wenn du hier:
x1/2 = - p/2 +/- Sqrt ((p^2/4) + q)
das +q mit -q verbesserst, dann erhälst du
x1/2 = -1 +/- Sqrt (-9)
Doch wie kommt man bei der Wurzel von -9 zu einem Ergebnis?
MfG
A. de Melo
Hallo Arndt!
Danke für deine Hilfe!
Habe jetzt die komplexen Zahlen -1+3i und -1-3i als Lösungsmenge!
Das dürfte doch nun richtig sein oder?
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Alessandro
Doch wie kommt man bei der Wurzel von -9 zu einem Ergebnis?
bist Du Dir Sicher, dass du verstanden hast, worum es bei komplexer rechnung geht?
Oben erwähnst Du selber die Zahl i. Quadrier die doch mal und denke nach.
Gruß
Stefan
Hallo Arndt!
Danke für deine Hilfe!
Habe jetzt die komplexen Zahlen -1+3i und -1-3i als
Lösungsmenge!Das dürfte doch nun richtig sein oder?
Das ist schon richtig. Man muss es aber nicht so kompliziert lösen mit Aufteilung in Real- und Imaginärteil. Löse die obige Gleichung so, wie du es sonst immer machst, nämlich mit der allgemein bekannten Formel
z1/2 = (-b ± sqrt(b^2-4ac))/(2a)
= (-2 ± sqrt(4-40))/2
= (-2 ± sqrt(-36))/2
= (-2 ± 6i)/2
= -1 ± 3i
Beachte, dass sqrt(-36)= sqrt(-1)sqrt(36)=6i.
Wurzel aus -1 ist ja gerade die imaginäre Einheit i.
Im Komplexen kann man nämlich auch aus einer negativen Zahl Wurzel ziehen.
Aufteilung in Real- und Imaginärteil ist nicht nötig.
Schöne Grüße
bist Du Dir Sicher, dass du verstanden hast, worum es bei
komplexer rechnung geht?Oben erwähnst Du selber die Zahl i. Quadrier die doch mal und
denke nach.Gruß
Stefan
Hallo Stefan,
danke für deine Bemerkung.
Ich habe den naiven Weg nochmal durchgerechnet und dann ist natürlich die Wurzel von -9 mit -1+/-3i gegeben!
Aber warum einfach, wenn es auch schwer geht 
MfG
A. de Melo