Komplexe Zahlen, benötige Hilfe bei 2 Aufgaben

[sviehn]

Hallo,
habe hier zwei Prüfungsaufgaben vor mir liegen bei denen ich einfach nicht weiter komme.

1.Alle komplexen Zahlen bestimmen die
(z2 − 1)*(z − 2i)^3 + i (z − 2i)= 0 genügen(mit z = x + iy)

Hier hab ich leider keine richtige Ahnung was ich machen soll. Soll hier die pq Formel angewendet werden,(wenn ja bitte ich um einen kleinen Denkanstoß zur Umformung) oder x+iy eingesetzt werden?

2.Alle komplexen Zahlen bestimmen die (1 + i)*z^8 = 16Wurzel2 genügen.

Hier habe ich nun (1+i) auf die andere Seite gebracht mit konjugierten Komplex erweitert und erhalte die Länge z=16 mit 16*Wurzel2/2+16*Wurzel*(i)

Ich habe pi/4 mit arctan(y/x) nun wollte ich dies in die Wurzelformel einsetztn was zu einen cos und sin von pi/32 für z0 führt, das kann ja nicht sein oder?habe dabei (winkel+2pi*k)/n gerechnet.

Ich bedanke mich schonmal für ein paar Anregungen

[Der_Namenlose]

Hallo.

2.Alle komplexen Zahlen bestimmen die (1 + i)*z^8 = 16Wurzel2
genügen.

Ein sinnvoller Ansatz ist

z = r \mathrm{e}^{\imath\phi}.

Dann ist z^8 gleich

z^8 = r^8 \mathrm{e}^{8\imath\phi} = \frac{16\sqrt{2}}{1+\imath}
= 8\sqrt{2}\big(1-\imath\big).

Betragsbildung ergibt

r^8 = \big|8\sqrt{2}\big(1-\imath\big)\big| = 16
\qquad \Leftrightarrow \qquad
r = \sqrt{2}.

Weiter ist

\mathrm{e}^{8\imath\phi} = \cos(8\phi)+\imath\sin(8\phi)

und damit

z^8 = 16\big(\cos(8\phi)+\imath\sin(8\phi)\big) = 8\sqrt{2}-8\sqrt{2}\imath.

Zerlegung in Realteil und Imaginaerteil ergibt

16\cos(8\phi) = 8\sqrt{2}
\qquad \text{also} \qquad
\phi = \frac{1}{8}\left(\pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)
= \frac{\pi}{32} + \frac{k\pi}{4}, ;; k\in\mathbb{Z}

und

16\sin(8\phi) = -8\sqrt{2}
\qquad \text{also} \qquad
\phi = -\frac{\pi}{32}+\frac{k\pi}{4}
\qquad \text{oder} \qquad
\phi = \pi-\frac{\pi}{32}+\frac{k\pi}{4}.

Folglich ist

z = \sqrt{2}\exp\left(-\frac{\imath\pi}{32}+\frac{k\pi\imath}{4}\right),
;; k\in\big{0,1,2,3,4,5,6,7\big}

Viele Gruesse,

The Nameless

[sviehn]

Hallo,
vielen Dank für die Hilfe.
Bis hierhin hab ich es verstanden, aber wie kommst du hier auf die cos und sin werte?Und von was wird deine endgültige Lösung bestimmt vom sin Wert?

Zerlegung in Realteil und Imaginaerteil ergibt

16\cos(8\phi) = 8\sqrt{2}
\qquad \text{also} \qquad
\phi = \frac{1}{8}\left(\pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)
= \frac{\pi}{32} + \frac{k\pi}{4}, ;; k\in\mathbb{Z}

und

16\sin(8\phi) = -8\sqrt{2}
\qquad \text{also} \qquad
\phi = -\frac{\pi}{32}+\frac{k\pi}{4}
\qquad \text{oder} \qquad
\phi = \pi-\frac{\pi}{32}+\frac{k\pi}{4}.

Folglich ist

z =
\sqrt{2}\exp\left(-\frac{\imath\pi}{32}+\frac{k\pi\imath}{4}\right),
;; k\in\big{0,1,2,3,4,5,6,7\big}

Gruss

[Der_Namenlose]

Hallo nochmal.

Wir haben

16\big(\cos(8\phi)+\imath\sin(8\phi\big) = 8\sqrt{2}-8\sqrt{2}\imath.

Diese Gleichung zerlege ich in ihren Realteil und Imaginaerteil. Der Realteil lautet

16\cos(8\phi) = 8\sqrt{2}

und der Imaginaerteil lautet

16\sin(8\phi) = -8\sqrt{2}.

Aus dem Realteil lese ich ab, dass

\cos(8\phi) = \frac{8\sqrt{2}}{16} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\qquad \Leftrightarrow \qquad
8\phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

gilt. Der Arkuskosinus ist natuerlich nicht eindeutig. Der Hauptwert ist

\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}.

So ergibt sich der Hauptwert

\phi = \frac{\pi}{32}.

Genausogut kann phi aber auch -pi/32 sein, das ergibt schliesslich den gleichen Kosinus. Und natuerlich kann phi auch um beliebige ganzzahlige Vierfache von 2pi vergroessert werden. Dadurch ergeben sich zunaechst unendlich viele verschiedene moegliche Werte fuer den Winkel. Wir koennen hier natuerlich nur die Werte gebrauchen, die auch mit der Gleichung fuer den Imaginaerteil vertraeglich sind, naemlich -pi/32 mit allen Additionen von k*2pi. Unter den dann bleibenden Winkeln schreibt man sinnvollerweise wiederum nur diejenigen auf, die zu unterschiedlichen Werten fuer die gesuchte komplexe Zahl z fuehren. Das ist in unserem Fall z. B. k=0,1,2,…,7.

Hilft Dir das weiter?

Liebe Gruesse,

The Nameless

[Martin]

Hallo,

wenn man hier…

r^8 e^{i 8 \phi} = 8 \sqrt{2}1 - i)

…angekommen ist, gibt es, um beide Seite in dieselbe Form zu bringen, zwei Möglichkeiten: (1) Man macht die linke Seite „kartesisch“, oder (2) man macht die rechte Seite „polar“. Du hast Dich für (1) entschieden, aber (2) hat den Vorteil, dann um das Gedöns mit sin und cos herumzukommen:

…
= 8 \sqrt{2}\sqrt{2}:e^{-i \pi/4})
= 16:e^{-i \pi/4}

denn 1 – i ist ja in Polarform √2 e^{–i π/4}. Das sieht man sofort, wenn man sich die Gaußsche Zahlenebene mit dem Einheitskreis darin skizziert (auf Papier oder vor dem geistigen Auge), und den Punkt 1 – i einzeichnet.

r^8 e^{i 8 \phi} = 16:e^{-i \pi/4}

r^8 = 16
\quad \textnormal{und} \quad
e^{i 8 \phi} = e^{-i \pi/4}
\quad\quad[*]

r = \sqrt{2}
\quad \textnormal{und} \quad
8 \phi = -\frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi

r = \sqrt{2}
\quad \textnormal{und} \quad
\phi = -\frac{\pi}{32} + k \frac{\pi}{4}

Dazu muss man nur wissen, dass e^{i &alpha} = e^{i &beta} genau für α = β + k 2 π (k ∈ Z) erfüllt ist (und nicht etwa nur für α = β! An dieser Stelle also aufpassen). Das vollzieht den Übergang von der Zeile [*] zur nächsten Zeile.

Gruß
Martin

Bei mir dürfen die is ihren Punkt behalten…

[sviehn]

Hallo,
und vielen Dank für die kurze Erläuterung hab im Heft auh gerade die Erläuterung mit 2pi*k gefunden.
Aber hat noch jemand vielleicht einen Einsatz für die erste Aufgabe?

Danke und Gruss

[sviehn]

Hallo nochmal
hab das ganze nochmal auf verschiedene weise durchgerechnet doch ein was versteh ich noch nicht ganz, wieso wird in pi/32 ein i mit angeführt? Argument z ist doch winkel+2pi*k!

Folglich ist

z =
\sqrt{2}\exp\left(-\frac{\imath\pi}{32}+\frac{k\pi\imath}{4}\right),
;; k\in\big{0,1,2,3,4,5,6,7\big}

Grus

[Martin]

Hallo,

…wieso wird in pi/32 ein i mit angeführt?
Argument z ist doch winkel+2pi*k!

ja, aber eine komplexe Zahl ist nicht"Betrag mal e hoch Argument", sondern „Betrag mal e hoch (i · Argument)“:

z = r:e^{i \phi}

Gruß
Martin

[sviehn]

ok wenn ich das nun richtig verstanden habe setzte ich nun k von 0,…7 ein und erhalte dann den RE-Teil über den Cosinuns und IM-Teil über den Sinus und erhalte damit meine Lösungen!?
Gruss

[Martin]

Also wenn der Wortlaut der Aufgabe sich in

Alle komplexen Zahlen bestimmen die (1 + i) z⁸ = 16 √2 genügen

erschöpft, dann ist nach meiner Auffassung die Angabe

z_k = \sqrt{2}:e^
{\textstyle{i \frac{\pi}{4} \left(\frac{1}{8} - k\right)}}
\quad\textnormal{mit}\quad
k = 0, 1, 2, …, 7

(oder ähnlich) als gültige Lösung zu betrachten. Eine komplexe Zahl wird durch die Polarform schließlich genauso gut spezifiziert wie durch die kartesische Form. Etwas anderes wäre es natürlich, wenn ausdrücklich verlangt wäre, die Lösung in kartesischer Form darzustellen. Das wäre dann genau so

setzte ich nun k von 0,…7 ein und erhalte dann den RE-Teil über den Cosinuns
und IM-Teil über den Sinus und erhalte damit meine Lösungen!?

zu bewerkstelligen, d. h. durch Anwendung der Eulerschen Beziehung e^{i φ} = cos φ + i sin φ. Die komplexe Zahl z = r e^{i φ} hat den Realteil r cos φ und den Imaginärteil r sin φ.