Komplexe Zahlen: Potenzieren

Wissenschaft Mathematik
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Hallo

Wir müssen uns in der Schule selber das Thema „Komplexe Zahlen“ beibringen.

Nun habe ich Unsicherheiten beim Potenzieren.

(3-5i)^2 sollen wir in der kartesicher Form und in der Polarischen Form ausrechnen.

Im internet fand ich folgende Formel für die Polarische Form:
r^n · (cos n · j + i sin n · j) j soll das Argument sein. Bei mir der Winkel.

Wenn ich das ausrechne erhalte ich -15.98 - 29.99i. Stimmt das? Ist das die Lösung in der Polarischen Form?

Wie müsste ich in der kartesischen Form vorgehen? Im Internet fand ich den Hinweis das es möglich ist, aber nicht zu empfehlen.

Danke für eure Antworten.

Gruss
Manuel

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(3-5i)^2 sollen wir in der kartesicher Form und in der
Polarischen Form ausrechnen.

Wenn ich das ausrechne erhalte ich -15.98 - 29.99i. Stimmt
das?

Mein Ergebnis ist gem. binomische Formel (3-5i)^2= 9 - 30i +25*(-1) = -16-30i

Ich würde es als „kartesische Form“ bezeichnen. Das andere muss Dir wohl auch klar sein, dass es ziemliche Rundungsfehler sind, die Du hier fabrizierst und hinschreibst und das Ergebnis identisch zu meinem sein muss.

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Eulersche Formel
Hallo,
Deine Formel für die Potenzierung in Polarkoordinaten ist zwar richtig, mir kommt es trotzdem grad sinnvoll vor, dir mal noch zu erklären, wie es dazu kommt.

Um zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten zu wechseln, braucht man die eulersche Formel:
k * ei*µ = k * (cosµ + i*sinµ)
Links polar, rechts kartesisch. k ist bei mir der Betrag, µ der Winkel. (Vermute, du kennst sie schon, sonst frag besser bei Unklarheiten nochma nach)

Potenzieren läuft dann nach den üblichen Potenzgesetzen ab:
(ab)c = abc. Genauso:
(k*eiµ)² = k²*(eiµ)² = k²* ei2*µ = k²* (cos(2*µ) + i*sin(2*µ))
Der Betrag wird quadriert, der Winkel verdoppelt.

Wenn man stattdessen in den kartesischen Koordinaten bleibt, nutzt man, wie schon geschrieben wurde, einfach die binomische Formel zum ausmultiplizieren von (a+bi)*(a+bi) und beachtet i² = -1, fertich. Das wird dann eben bei höheren bzw. nicht ganzen Potenzen unangenehm bis schwer auszurechnen, während in Polarkoordinaten das System immer gleich bleibt; Betrag potenzieren, Winkel multiplizieren.

Ciao!
Giogio