Komplexe Zahlen Wechselstrom

Wissenschaft Physik
#1

Hallo, ich weiss, dass hier keine Hausaufgabenlösung angestrebt wird.
Ich habe auch nur eine kleine Frage, wo nicht viel berechnet werden muss.
Ich schreibe nächste Woche ein Test und kann folgendes Problem nicht lösen:
Es geht um komplexe Zahlen, die wir berechnen sollen und in Gauss- und Exponentialform angeben sollen.
Wir haben Z1, Z2, Z3 und Z4 (alle jeweils mit Unterstrich). Z1=4eʲ0°Ohm; Z2=2eʲ90°Ohm; Z3=Z1+Z2; Z4= (Z1/Z2); Z=2eʲ45°Ohm; I=22-ʲ45°A; U=Z*I (alle mit Unterstrich)

  1. Kann mir jemand bitte Z3 und Z4 berechnen?
  2. Kann mir jemand Z1 bis Z4 in Gauss und Exponentialform angeben und an einem Beispiel die Rechenschritte ausschreiben?

Danke im Voraus.

#2

Hossa :smile:

Zur Umwandlung in die Gauß-Form hilft die Euler-Formel weiter:

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi

Damit wird:

z_1=4e^{i\cdot0^o}=4\left(\cos 0^o+i\sin 0^o\right)=4
z_2=2e^{i\cdot90^o}=2\left(\cos 90^o+i\sin 90^o\right)=2i

Die Summe von z1 und z2 ist daher:

z_3=z_1+z_2=4+2i

Zur Umwandlung in die Expoenentialform fasst du die komplexe Zahl als Vektor (Re,Im) in der Gauß’schen Zahlenebene auf. Der Winkel diese Vektors mit der Re-Achse ist der Winkel und der Betrag dieses Vektors ist die Länge:

\left|z\right|=\sqrt{\left[\mbox{Re}(z)\right]^2+\left[\mbox{Im}(z)\right]^2}\quad;\quad\tan\varphi=\frac{\mbox{Im}(z)}{\mbox{Re}(z)}

In deinem Fall gilt also:

\left|z_3\right|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5

\tan\varphi=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Longrightarrow\varphi=\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\approx 26.565^o

und damit gilt dann:

z_3=z_1+z_2=4+2i=2\sqrt5\cdot e^{i\cdot26.565^o}

Für deinen letzten Fall startest du wie folgt:

z_4=\frac{z_1}{z_2}=\frac{4}{2i}=\frac{-4i^2}{2i}=-2i

Der Rest geht wie beschrieben…

Viele Grüße

Hasenfuß