Hallo,
Wenn ich bisher mit komplexen zahlen gerechnet habe, dann hatte ich meist angaben wie:
34 - 6i
Aus Real und Imaginäranteil kann ich ja ein Zeiger Diagramm erstellen und so einen Wert genau makieren.
Wenn ich nun zu höhen und längen Achse noch eine Tiefenachse hinzufügen möchte, wie kann ich das tun? und es muss ja auch so sein, das ich damit noch rechnen kann.
Gruß
Johannes
hi,
Wenn ich bisher mit komplexen zahlen gerechnet habe, dann
hatte ich meist angaben wie:34 - 6i
Aus Real und Imaginäranteil kann ich ja ein Zeiger Diagramm
du meinst vermutlich „polarkoordinaten“ (???) - eine zahl durch winkel zur x- bzw. realachse und betrag definieren
erstellen und so einen Wert genau makieren.
Wenn ich nun zu höhen und längen Achse noch eine Tiefenachse
hinzufügen möchte, wie kann ich das tun? und es muss ja auch
so sein, das ich damit noch rechnen kann.
weitere achsen sind mathematisch kein problem; du bekommst dann dinge, die keine paare (oder 2-tupel) sind, sondern 3-tupel und dgl. du verlässt damit den raum der komplexen zahlen.
es ist keineswegs nötig und auch nicht sinnvoll (sondern wäre eine erweiterung des zahlenraums), zum rechnen mit komplexen zahlen weitere achsen einzuführen.
du addierst komponentenweise:
(a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d).i
oder in paarschreibweise
(a, b) + (c , d) = (a + c, b + d)
du multiplizierst, indem du ausmultiplizierst:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bic + bdi^2 = ac - bd + (ad + bc).i
oder in paarschreibweise
(a, b) . (c, d) = (ac-bd, ad+bc)
in polarkoordinaten kannst du eine multipliaktion auch durch addition der winkel und multiplikation der beträge ausführen
(alpha; l1) . (beta; l2) = (alpha+beta; l1.l2)
usw. usf.
wozu eine dritte achse?
hth
m.
Gruß
Johannes
Im übrigen gibt es auch keinen reell-dreidimensionalen Körper. Will heißen: Es gibt kein dreidimensionales Gebilde, in dem Du addieren, subtrahieren, multiplizieren und „Inverse bilden“, also im wesentlichen teilen kannst.
Quaternionen
Im übrigen gibt es auch keinen reell-dreidimensionalen Körper.
Will heißen: Es gibt kein dreidimensionales Gebilde, in dem Du
addieren, subtrahieren, multiplizieren und „Inverse bilden“,
also im wesentlichen teilen kannst.
Allerdings gibt es wieder eine vierdimensionale Divisionsalgebra.
weitere achsen sind mathematisch kein problem; du bekommst
dann dinge, die keine paare (oder 2-tupel) sind, sondern
3-tupel und dgl. du verlässt damit den raum der komplexen
zahlen.es ist keineswegs nötig und auch nicht sinnvoll (sondern wäre
eine erweiterung des zahlenraums), zum rechnen mit komplexen
zahlen weitere achsen einzuführen.
du addierst komponentenweise:
(a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d).i
oder in paarschreibweise
(a, b) + (c , d) = (a + c, b + d)du multiplizierst, indem du ausmultiplizierst:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bic + bdi^2 = ac - bd + (ad +
bc).i
oder in paarschreibweise
(a, b) . (c, d) = (ac-bd, ad+bc)in polarkoordinaten kannst du eine multipliaktion auch durch
addition der winkel und multiplikation der beträge ausführen
(alpha; l1) . (beta; l2) = (alpha+beta; l1.l2)usw. usf.
wozu eine dritte achse?
Das will ich dir gerne sagen. Wenn man z.b. in der Elektrotechnik Strom und Spannung als Polarkoordinaten angibt, so kann man z.b den Phasenverschiebungswinkel sehr gut sehen. (Auch da strom und Spannung ja zusammen hang haben ist eine solche darstellung gut). Wenn man nun z.b. auch noch die Leistung mit intigrieren möchte, so kann man zur veranschaulichung gut eine neue Achse einfügen dachte ich. Denn auch die leistung ist von Strom, Spannung und Phasenverschiebungswinkel abhängig.
Gruß
Johannes
Hallo
Zur Ergänzung
Was wir erhalten ist der Schiefkörper der Quaternionen. In ihm kann man so rechnen wie mit den reellen/komplexen Zahlen. Eine Ausnahme existiert aber: das Produkt ist nicht mehr kommutativ: d.h. ab=ba gilt nicht mehr für alle „Zahlen“ (vgl. auch http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen).
Man kann das noch weiter treiben, mit den sogannten Oktaven, die 8-dimensionale Version). Da geht dann auch noch das Assoziativgesetz flöten, d.h. es muss nicht gelten a(bc)=(ab)c (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Oktave_%28Mathematik%29)
Und um es noch auf die Spitze treiben, existiert auch noch eine 16-dimensionale Variante: die Sedenionen. Aber da gelten praktisch keine uns vertrauten Gesetze mehr (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Sedenionen).
Wichtig es übrigens, dass bei jedem Erweiterungsschritt die vorangehenden „Zahlstrukturen“ darin enthalten sind.
Gruss Urs
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Hi!
Das will ich dir gerne sagen. Wenn man z.b. in der
Elektrotechnik Strom und Spannung als Polarkoordinaten angibt,
so kann man z.b den Phasenverschiebungswinkel sehr gut sehen.
(Auch da strom und Spannung ja zusammen hang haben ist eine
solche darstellung gut). Wenn man nun z.b. auch noch die
Leistung mit intigrieren möchte, so kann man zur
veranschaulichung gut eine neue Achse einfügen dachte ich.
Denn auch die leistung ist von Strom, Spannung und
Phasenverschiebungswinkel abhängig.
Richtig. Aber die Leistung ergibt sich aus
P = U I
mag heißen, du multiplizierst zwei komplexe Zahlen. Das Ergebnis ist wieder eine komplexe Zahl. Du verlässt also die 2-dimensionale Welt gar nicht.
Etwas anderes ist es, wenn du den Poynting-Vektor ausrechnest. Das ist das Ex-Produkt aus Feldstärke und Stromdichte
P = E x J
(jeweils mit Vektorpfeil über den Variablen). Aber dann sind das keine komplexen Zahlen sondern 3-Dim. Vektoren. Wegen des Ex-Produkts schaut P aus der von E und J aufgespannten Ebene raus, eröffnet sozusagen also eine 3 Dimension.
Wie schon jemand anderer gesagt hat: Der 2-Dimensionale Raum der komplexen Zahlen ist vollständig (heißt das mathematisch korrekt so?). Du kannst auch von noch so krummen komplexen Zahlen eine Wurzel ziehen oder noch grausligere Operationen drauf ausführen, das Ergebnis liegt immer wieder im komplexen Raum.
Bye
Hansi
Wie schon jemand anderer gesagt hat: Der 2-Dimensionale Raum
der komplexen Zahlen ist vollständig (heißt das mathematisch
korrekt so?). Du kannst auch von noch so krummen komplexen
Zahlen eine Wurzel ziehen oder noch grausligere Operationen
drauf ausführen, das Ergebnis liegt immer wieder im komplexen
Raum.
„algebraisch abgeschlossen“ ist das mit den Wurzeln, vollständig sind sie auch, aber das ist was anderes
Hallo,
wie man sieht, bricht beim Versuch den Zahlenkörper zu erweitern dessen Struktur immer weiter zusammen. Der Körper der komplexen Zahlen ist also in dieser Hinsicht der „optimalste“.
Gruß
Oliver
Hi,
der komplexen Zahlen ist also in dieser Hinsicht der „optimalste“.
wobei C andererseits eine Eigenschaft fehlt, die Q und R haben: C ist nicht angeordnet (es gibt kein „“).
Gruß
Martin