Komplexere Extremwertprobleme: Intervalle ?

Wissenschaft Mathematik
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Guten Tag, liebe Expertinnen und Experten.

Ich bin in der 12. Klasse, es geht um den Grundkurs Mathematik.
Jetzt gerade sind wir bei komplexeren Extremwertproblemen angelangt, und es gilt folgende Aufgabe zu lösen:

Bei einer rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großem Inhalt herausgeschnitten werden.

Aufgabe:

a) Wie ist der Punkt P zu wählen?
b) Aus dem Rest soll wiederum eine rechteckige Scheibe herausgeschnitten werden. Wie groß kann diese höchstens werden?

Dazu hat man einige Randinformationen:

Die Platte ist 80 cm breit, 60 cm lang und die obere linke Ecke fehlt. Weiterhin ist angegeben, das die Länge der Platte auf der linken Seite von der linken unteren Ecke bis zur abgebrochenen Ecke 30 cm beträgt, die Länge der oberen Seite von der rechten oberen Ecke bis zur linken oberen abgebrochenen Ecke beträgt 60 cm.

Daraus ergibt sich:

  1. Aus der Glasplatte soll ein möglichst großes Rechteck geschnitten werden, also muss der Term a*b sein.

  2. Die Bedingung dafür ist, dass der gesuchte Punkt auf der gebrochenen Linie liegt, diese kann außerdem als Funktion dargestellt werden.

Die Funktion hierfür ist: 1,5x+30 (Bedingung für die y-Achse)

Wir wissen, das die rechte untere Seite 80-x sein muss (die Bedingung für die x-Achse)

  1. Daraus ergibt sich, das die Zielfunktion A=(1,5x+30)(80-x) oder auch A= -1,5x^2+90x+2400 ist.

  2. Rechnet man all das aus kommt man auf ein lokales Maximum von x=30

Das Problem:

Die errechnete x-Koordinate ist 30, gibt man diese 30 nun in die Funktion erhält man eine y-Koordinate von 75, also (30/75), dieser Punkt liegt allerdings nichtmehr auf der Geraden, auf der er eigentlich liegen müsste.
D.h. also, das „effektive“ lokale Maximum liegt außerhalb des relevanten Bereiches.

Die Frage:

Gibt es eine Möglichkeit die Funktion oder etwas anderes so abzuändern, dass das ganze sozusagen in einem bestimmten Intervall (in diesem fall von [0-20]) von statten geht?

Andere Lösungsvorschläge sind selbstverständlich gerne willkommen.

Danke bereits im Vorraus

Mfg Itasa

Ps: Ich darf das ganze nur mit Differenzialrechnung lösen, also bitte nur auf diese Weise.

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hi,

Ich bin in der 12. Klasse, es geht um den Grundkurs
Mathematik.
Jetzt gerade sind wir bei komplexeren Extremwertproblemen
angelangt, und es gilt folgende Aufgabe zu lösen:

Bei einer rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen.
Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst
großem Inhalt herausgeschnitten werden.

Aufgabe:

a) Wie ist der Punkt P zu wählen?
b) Aus dem Rest soll wiederum eine rechteckige Scheibe
herausgeschnitten werden. Wie groß kann diese höchstens
werden?

Dazu hat man einige Randinformationen:

Die Platte ist 80 cm breit, 60 cm lang und die obere linke
Ecke fehlt. Weiterhin ist angegeben, das die Länge der Platte
auf der linken Seite von der linken unteren Ecke bis zur
abgebrochenen Ecke 30 cm beträgt, die Länge der oberen Seite
von der rechten oberen Ecke bis zur linken oberen
abgebrochenen Ecke beträgt 60 cm.

Daraus ergibt sich:

  1. Aus der Glasplatte soll ein möglichst großes Rechteck
    geschnitten werden, also muss der Term a*b sein.

  2. Die Bedingung dafür ist, dass der gesuchte Punkt auf der
    gebrochenen Linie liegt, diese kann außerdem als Funktion
    dargestellt werden.

Die Funktion hierfür ist: 1,5x+30 (Bedingung für die y-Achse)

Wir wissen, das die rechte untere Seite 80-x sein muss (die
Bedingung für die x-Achse)

  1. Daraus ergibt sich, das die Zielfunktion A=(1,5x+30)(80-x)
    oder auch A= -1,5x^2+90x+2400 ist.

so weit alles klar & richtig.
**0
alle anderen x-werte sind nicht definiert bzw. gilt für höhere x-werte konstant y(x) = 60 (höhe der scheibe).

jetzt kann das maximum im innern das intervalls liegen (y’ = 0) oder am rand! (und am rand wissen wir über y’ nix.)

  1. Rechnet man all das aus kommt man auf ein lokales Maximum
    von x=30

wenns innen wäre. aber das is eben nimmer innen.

Das Problem:

Die errechnete x-Koordinate ist 30, gibt man diese 30 nun in
die Funktion erhält man eine y-Koordinate von 75, also
(30/75), dieser Punkt liegt allerdings nichtmehr auf der
Geraden, auf der er eigentlich liegen müsste.
D.h. also, das „effektive“ lokale Maximum liegt außerhalb des
relevanten Bereiches.

Die Frage:

Gibt es eine Möglichkeit die Funktion oder etwas anderes so
abzuändern, dass das ganze sozusagen in einem bestimmten
Intervall (in diesem fall von [0-20]) von statten geht?

Andere Lösungsvorschläge sind selbstverständlich gerne
willkommen.

differenzialrechnung liefert mit dem ansatz y’ = 0 lokale extremwerte im innern eines intervalls. sie können aber auch am rande des intervalls liegen, und zwar mit jeder beliebigen steigung.

im konkreten fall liefert x = 20 eine scheibe von den ausmaßen
Amax = 60 * 60 = 3600.
(schneidet man ganz am, anderen, linken rand, gibts eine scheibe von
80 x 30 = 2400.)

mehr bringt man aus dem angebrochenen stück an rechteck nicht heraus.

hth

m.**

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übrigens: ich würd das ganze nicht „komplexere“ extremwertprobleme nennen, weil sie mit „komplexen“ zahlen nix zu tun haben. eher bloß „kompliziertere“. aber das ist relativ.

m.

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Hallo,

  1. Daraus ergibt sich, das die Zielfunktion A=(1,5x+30)(80-x)
    oder auch A= -1,5x^2+90x+2400 ist.

ja, richtig. Die ganz wasserdicht korrekte Schreibweise wäre:

A(x) = (1,5 x + 30)(80 – x) für x ∈ [0, 20]

Außerhalb des Intervalls [0, 20] ist A(x) nicht definiert.

  1. Rechnet man all das aus kommt man auf ein lokales Maximum
    von x=30

Vorsicht. x = 30 ist zwar das (sogar absolute) Maximum der Funktion (1,5 x + 30)(80 – x) bzgl. IR als Definitionsbereich, aber es ist nicht das Maximum von A(x) im Intervall [0, 20], auch wenn die Terme identisch sind.

Wenn Du so ein Ergebnis herausbekommst, d. h. das Nullsetzen der ersten Ableitung liefert einen Wert, der nicht im Definitionsbereich liegt (oder es liefert überhaupt keinen Wert, weil die Funktion überhaupt kein Extremum hat), muss die Funktion in ihrem Definitionsbereich notgedrungen streng monoton sein. Dann ist das gesuchte Maximum entweder an der oberen oder an der unteren Intervallgrenze, je nachdem wo der Funktionswert größer ist. An der anderen Grenze liegt dann ein Minimum vor. Hier ist das Maximum an der oberen Intervallgrenze x = 20 und die ausgeschnittene Scheibe ein Quadrat mit der Seitenlänge 60 cm.

(Ich nehme an, Du hast Dir die Sache mal aufgezeichnet. Dann kannst Du was Schönes sehen: Gehst Du nämlich mit x von 20 cm ein infinitesimales Stück dx runter, dann gewinnst Du links die Fläche 60 cm · dx dazu, verlierst oben aber 1.5 · 60 cm · dx Fläche → die Bilanz ist negativ. Deshalb muss der gesuchte Punkt mit der oberen Intervallgrenze zusammenfallen. Der letztliche Grund dafür ist die zu große Steigung der Abbruchkantengerade.)

Gibt es eine Möglichkeit die Funktion oder etwas anderes so
abzuändern, dass das ganze sozusagen in einem bestimmten
Intervall (in diesem fall von [0-20]) von statten geht?

Ja, Du schränkst einfach den Definitionsbereich D der Funktion A(x) ein, indem Du es so notierst wie eingangs gezeigt. Dann bestimmst Du das Maximum der Funktion in IR. Liegt es in D, bist Du fertig. Wenn nicht, prüfst Du die Funktionswerte an den Intervallgrenzen. Der größere von beiden ist das gesuchte Maximum.

Gruß
Martin

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Ja, Du schränkst einfach den Definitionsbereich D der Funktion
A(x) ein, indem Du es so notierst wie eingangs gezeigt. Dann
bestimmst Du das Maximum der Funktion in IR. Liegt es in D,
bist Du fertig. Wenn nicht, prüfst Du die Funktionswerte an
den Intervallgrenzen. Der größere von beiden ist das gesuchte
Maximum.

Gruß
Martin

Genau was ich gesucht habe, vielen Dank für die rasche und kompetente Antwort.

Mfg Itasa