Kompleze zahlen i^n

Wissenschaft Mathematik
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Sei n eine Natürliche Zahl. wie kann ich zeigen, dass i ^n nur die Werte 1, -1, i und -i annimmt.

Kann mir damit vielleicht bitte jemand helfen?

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moin;

du kannst das zeigen, indem du weißt, wie i^2 definiert ist :wink:
Dann ist das alles trivial.

mfG

3

Sei n eine Natürliche Zahl. wie kann ich zeigen, dass i ^n nur
die Werte 1, -1, i und -i annimmt.

Ugh.

i<sup>1</sup>=i
i<sup>2</sup>=-1

und Potenzgesetz: a<sup>m</sup>\*a<sup>n</sup>=a<sup>m+n</sup>

Du kannst jede beliebige Potenz von i, die einen natürlichen Exponenten hat, als Produkt aus diesen beiden Zahlen schreiben. Da nun

i\*1=i,
i\*i=-1,
i\*(-1)=-i,
(-1)\*(-1)=1,

ist der Fall damit erlederitzt.

Aga,
CBB

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Hossa :smile:

Am einfachsten machst du hier eine Fallunterscheidung.

  1. Fall: n=4k mit k>=0
    Das sind die Zahlen n=0,4,8,12…

i^n=i^{4k}=\left(i^4\right)^k=\left(i^2\cdot i^2\right)^k=\left((-1)\cdot(-1)\right)^k=1^k=1

  1. Fall: n=4k+1 mit k>=0
    Das sind die Zahlen n=1,5,9,13…

i^n=i^{4k+1}=i^{4k}\cdot i=1\cdot i=i

  1. Fall: n=4k+2 mit k>=0
    Das sind die Zahlen n=2,6,10,14…

i^n=i^{4k+2}=i^{4k}\cdot i^2=1\cdot(-1)=-1

  1. Fall: n=4k+3 mit k>=0
    Das sind die Zahlen n=3,7,11,15…

i^n=i^{4k+3}=i^{4k+2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i

Mit diesen 4 Fällen hast du alle Möglichkeiten für n als natürliche Zahl abgedeckt und das Ergebnis von in ist immer 1, i, -1 oder -i.

Viele Grüße

Hasenfuß

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Ich finde die Lösung von Hasenfuß am besten; die anderen kommen mir mystisch vor, sorry!
Grüße von
enricoernesto