Hallo zusammen,
ich habe das ein schwieriges Problem bekommen; hab zwar jetzt die Lösung, jedoch nur weil mein Taschenrechner das kann.
Zunächst führe ich mal das Problem an:
Also bei einem Bausparvertrag beträgt der Zinssatz x Prozent.
Jeden Monat zahle ich 50 EUR ein, Laufzeit 15 Jahre.
Die Zinsen werden monatlich berechnet.
Nach den 15 Jahren haben sich mit den x Zinsen 10270 EUR angespart und ich bekomme einen Bonus von 781 EUR und muss noch 200 EUR Gebühr bezahlen.
Gesucht: Der effektive Jahreszins.
Mit dem Taschenrechner (Casio CFX-9970G)hab ich rausbekommen: 2,43 Prozent. Mich würde jetzt aber interessieren, wie ich das per Rechnung rausbekomme.
Und dann nochwas:
Ich dachte erst die Formel „Kn=K0*q^n+(R*(q^n-1))/(q-1)“ könnte mir helfen, jedoch tut sie das glaub ich nicht. Ich hatte angenommen, dass K0=0 ist.
Mich würde mal interessieren, wie ich die Formel nach q umstelle, da hab ich nämlich 2 Stunden drangesessen und bin verzweifet.
Ich schätze mal dass ich aus dem Zähler (q-1) ausklammern muss, hab ich aber nicht geschafft.
Weiß jemand einen Rat?
Grüße, Jenny.
Hallo Jenny,
Ich dachte erst die Formel „Kn=K0*q^n+(R*(q^n-1))/(q-1)“
könnte mir helfen, jedoch tut sie das glaub ich nicht. Ich
hatte angenommen, dass K0=0 ist.
Mich würde mal interessieren, wie ich die Formel nach q
umstelle, da hab ich nämlich 2 Stunden drangesessen und bin
verzweifet.
Zunächst mal: Das ist ein Polynom n-ten Grades, das wirst Du kaum nach q umstellen können. Nullstellen von solchen Polynomen, wenn n nur groß genug ist, lassen sich nicht in geschlossener Form angeben. Das muss man numerisch (z.B. per Newtonverfahren) lösen.
Zweiter Punkt: Die obige Gleichung ist für Deine Aufgabenstellung fast richtig. „Fast“ deshalb, weil dort ein Faktor fehlt. Die Gleichung muss eigentlich heißen
(…((R q + R) q + R) q + … + R) q = K + Bonus - Gebühr.
Angenommen habe ich hier, dass die Einzahlungen immer am Anfang des Monats erfolgen und am Ende verzinst werden. Nachdem die letzte Einzahlung erfolgt ist und nach dem letzten Monat verzinst wurde, wird schließlich die rechte Seite ausgezahlt. Insgesamt gibt es n = 180 (12*15) Einzahlungen R. Die linke Seite kann man nun umformen zu
(sum_{i=0}^{n-1} R q^i) * q = R (sum_{i=0}^{n} q^i - 1) =
= R [(q^{n+1} - 1)/(q - 1) - (q - 1)/(q - 1)] =
= R q (q^{n} - 1)/(q - 1).
Umgestellt lautet die Gleichung
R q^{n+1} - (R + K + B - G) q + K + B - G = 0.
Oder:
50*q^181 - 10901*q + 10851 = 0.
Mein Maple spuckt hier 1 und 1.002008674 als Lösungen aus. Der eff. Jahreszins ist die letzte Zahl hoch 12 minus 1:
0.024372174 bzw. 2.4372174%.
Viele Grüße,
Martin
Hallo Martin,
…das wirst Du kaum nach q umstellen können…
Dacht ich mir fast.
Werde mir das gleich mal zu Gemüte führen, falls ich dann noch Fragen habe, meld ich mich nochmal.
Bis dahin: VIELEN DANK !
Grüße, Jenny.
Das geht eigentlich relativ einfach wie folgt:
Du zahlst in den 15 Jahren insgesamt 9000 ein.
Du erhältst nach der selben Zeit, de facto mit allen Boni und Gebühren, 10851.
Das heißt, 9000*15^(1+x)=10851. Wenn man das auflöst, dann kommt für x raus: 2,4312 %.
Ziemlich mager, oder ?
Liebe Grüße
Moriarty