Kongruenzsatz

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen

Ich bin zur Zeit am repetieren geometrischer Grundlagen, dabei bin ich auf die 4 Kongruenzsätze gestossen.
SSS, WSW, SSW, SsW
soweit ist noch alles klar.

Meiner Meinung nach sind 2 Dreicke auch kongruent wenn:
2 Seiten und eine Höhe gleich sind
und wenn:
2 Winkel und eine Höhe gleich sind

können diese Kongruenzsätze von den 4 Kongruenzsätzen hergeleitet werden?
Oder werde ich berühmt, weil ich 2 neue Kongruenzsätze entdeckt habe :wink:?

Danke für eure Hilfe
Andreas

#2

Hallo Andreas,

vielleicht steckt in deinen Behauptungen ein richtiger Gedanke, aber in der aktuellen Form sind sie leicht durch Gegenbeispiele zu widerlegen:

Meiner Meinung nach sind 2 Dreicke auch kongruent wenn:
2 Seiten und eine Höhe gleich sind

Die Dreiecke ABD und A’BD sind nicht kongruent, haben aber zwei gleichlange Seiten und die gemeinsame Höhe DB: A = (-1, 0); A’ = (1, 0); B = (0, 2); C = (2, 0).

und wenn:
2 Winkel und eine Höhe gleich sind

Die ähnlichen Dreiecke ABC und AB’C’ haben beide eine Höhe der Länge 1 (AB bzw. AC’), sind aber nicht kongruent: A = (0, 0); B = (0, 2); B’ = (0, 4); C = (1, 0); C’ (2, 0).

Viele Grüße,

Andreas

#3

(im ersten Beispiel)

#4

Hallo Andreas,

Meiner Meinung nach sind 2 Dreicke auch kongruent wenn:
2 Seiten und eine Höhe gleich sind

Das wurde ja schon widerlegt, aber für nicht-stumpfwinklige Dreiecke stimmt’s.

und wenn:
2 Winkel und eine Höhe gleich sind

Das wurde m.E. nicht wirklich widerlegt, war nur ein Problem mit der Formulierung, denn wenn ich sage, zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seiten und ein Winkel übereinstimmen, ist das auch so lange falsch, wie ich nicht dazusage, ob der Winkel von den beiden Seiten eingeschlossen wird oder der längeren Seite gegenüberliegt.
Deine Aussage muss also präzisiert werden:

Zwei Dreiecke sind kongruent, falls zwei Seiten und die Höhe auf der dritten Seite übereinstimmen,
oder falls eine Seite und die dazugehörige Höhe sowie eine weitere Seite übereinstimmen.

können diese Kongruenzsätze von den 4 Kongruenzsätzen
hergeleitet werden?

Da will ich Dir mal Deinen Entdeckerdrang lassen und nur eine Anregung geben, wie Du diese Sätze herleiten kannst:

  • Mach Dir eine Konzeptskizze. Zeichne alle Größen, die gegeben sind, farbig ein.
  • Zeichne nun noch die beiden rechten Winkel, die Du am Fußpunkt der Höhe hast, farbig ein, denn diese sind ja auch bekannt.
  • Und nun schau, ob du in den beiden Teildreiecken Kongruenzsätze anwenden kannst, um die restlichen Größen zu bestimmen.
  • Achtung: Wenn Du SsW brauchst, überleg Dir, warum der Winkel auch wirklich der größeren Seite gegenüberliegt.

Liebe Grüße und viel Spaß beim Beweisen!
Immo

P.S. Wenn Du noch Lust hast, überleg Dir, was bei den stumpfwinkligen Dreiecken schiefläuft.

#5

Hi,

(Achtung, ich bin der zweite Andreas :smile:)

2 Winkel und eine Höhe gleich sind

Das wurde m.E. nicht wirklich widerlegt, war nur ein Problem
mit der Formulierung

ja, danke, leider habe ich das nicht explizit erwähnt; mein Gegenbeispiel beruht darauf, dass ich die Höhe zweimal unterschiedlich gewählt habe in Relation zu den Seiten.

Deine Aussage muss also präzisiert werden:

Zwei Dreiecke sind kongruent, falls zwei Seiten und die Höhe
auf der dritten Seite übereinstimmen,

Hmm, genau das widerlegt mein 1. Beispiel. Vermutlich hast du dich nur verschrieben und meintest so etwas wie: „falls zwei Winkel und die Höhe auf der eingeschlossenen Seite übereinstimmen“?

oder falls eine Seite und die dazugehörige Höhe sowie eine
weitere Seite übereinstimmen.

(Das lässt sich auch widerlegen mit einem ähnlichen Beispiel. Oder hast du jetzt überall implizit die stumpfwinkligen Dreiecke ausgeschlossen?)

Viele Grüße und dem ersten Andreas viel Spaß beim Beweisen,

Andreas

#6

Hi Andreas II!

Zwei Dreiecke sind kongruent, falls zwei Seiten und die Höhe
auf der dritten Seite übereinstimmen,

Hmm, genau das widerlegt mein 1. Beispiel. Vermutlich hast du
dich nur verschrieben und meintest so etwas wie: „falls zwei
Winkel und die Höhe auf der eingeschlossenen Seite
übereinstimmen“?

Genau das ist es, hatte mich mit den Winkeln vertan.

oder falls eine Seite und die dazugehörige Höhe sowie eine
weitere Seite übereinstimmen.

(Das lässt sich auch widerlegen mit einem ähnlichen Beispiel.
Oder hast du jetzt überall implizit die stumpfwinkligen
Dreiecke ausgeschlossen?)

Neinnein, das mit den stumpfwinkligen Dreiecken war extra, hier ist es wieder der gleiche Fehler mit den Winkeln. Aber, wie mir gerade auffällt, braucht man da keine Fallunterscheidung mehr, da mit zwei Winkeln ja auch der dritte übereinstimmt. Also soweit alles gut.

Gruß,
Immo

#7

Hallo Andreas,

Meiner Meinung nach sind 2 Dreicke auch kongruent wenn:
2 Seiten und eine Höhe gleich sind

Die Dreiecke ABD und A’BD sind nicht kongruent, haben aber
zwei gleichlange Seiten und die gemeinsame Höhe DB: A = (-1,
0); A’ = (1, 0); B = (0, 2); C = (2, 0).

ich kann nicht erkennen wo diese Dreiecke nicht kongruent sein
sollen.
Das Spielchen was Du da machst könntest Du auch mit WsW oder SSS
machen also alles einfach spiegeln.Dann würde überhaupt kein
Kongruenzsatz richtig sein.
Wie beim SSW die Einschränkung besteht, daß der Winkel gegenüber
der größten Seite übereinstimmen muß besteht bei der Höhe die
Einschränkung, daß sie „eingeschlossen“ sein muß.
Immer gilt WHW, also 2 Winkel und eine Höhe oder auch HHH.
Aber das sind keine weiteren Kongruenzsätze sonst könnte man ja
noch erweitern mit eingeschriebenen Kreisen mit Seiten oder Winkeln.
Bei Wikipedia nachschauen !
Gruß VIKTOR

#8

Deine Dreiecke sind natürlich „nicht kongruent“. Ich hatte mich
beim aufskizzieren vertan.
V.