Hanna, warum lässt du dich so leicht ins Bockshorn jagen?
Präteritum Konjunktiv II
ich begänne - ich begönne
Wie nun? Welches ist richtig?
Wenn da zwei Formen stehen, dann sind beide richtig.
Und warum sollten denn nicht zwei korrekte Formen nebeneinander existieren?
Es gibt Hanna und Hannah und Hanah und Hanne und vielleicht noch mehr. Du wirst doch nicht eine von ihnen als falsch bezeichnen?
Wie ist der Konjunktiv nun zu bilden?
Einige Verben haben eine doppelten Präteritumsstamm.
Sie bilden zwar das Präteritum auf „a“, den Konjunktiv II aber mit „ü“ oder „ö“.
sterben
Präteritum: er starb
Konjunktiv II: er stürbe (er stärbe wird nicht gebraucht)
werben
Präteritum: er warb
Konjunktiv II: er würbe (er wärbe ist unüblich)
verderben
Präteritum: er verdarb
Konjunktiv II: er verdürbe (er verdärbe ist unüblich)
Walther von der Vogelweide fragte " wie man zer werlte solte leben" und antwortet: „ich weiz deheinen rat, daz man driu dinc erwürbe, der keinez nit verdürbe“.
(Ich weiß nur einen Rat, dass man drei Dinge erwürbe, von denen keines verdürbe".)
Ein kleiner Auszug aus einem Arbeitsblatt, das ich dazu´im Unterricht einsetze:
Bildung des Konjunktiv II bei unregelmäßigen Verben
_Infinitiv: nehmen
Präteritum Konjunktiv II Umlaut + Endungen
ich nahm ich nähme -e
du nahmst du nähmest -est
er nahm er nähme -e
sie nahm sie nähme -e
es nahm es nähme -e
wir nahmen wir nähmen -en
ihr nahmt ihr nähmet -et
sie nahmen sie nähmen -en
Ausnahme:
Es gibt eine Reihe von unregelmäßigen Verben, die im Präteritum den Vokal „a“ haben, die aber im Konjunktiv II meist nicht mit dem Umlaut „ä“, sondern mit dem Umlaut „ü“ gebildet werden.
Dafür gibt es Gründe, die zu erklären aber einfach zu lange dauerte. (! , nicht: dauern würde)
Dies sind die Verben:
Infinitiv Präteritum Konjunktiv II
helfen ich half ich hülfe
erwerben ich erwarb ich erwürbe
sterben ich starb ich stürbe
stehen ich stand ich stünde
verderben ich verdarb ich verdürbe
verstehen ich verstand ich verstünde
stehen ich stand ich stünde
werfen ich warf ich würfe
werben ich warb ich würbe
Andererseits gelten diese Verbformen als manieriert und geziert und überkandidelt und viele Deutsche fürchten, sich lächerlich zu machen, wenn sie diese Formen benutzen; also wird auch bei diesen Verben meist die Ersatzform (würde + Infinitiv) gebraucht.
Hinter vorgehaltener Hand:
Wenn der Kontext eindeutig vorgibt, daß von irrealen Verhältnissen die Rede ist, kann - vor allem in einem schriftlichen Text - auch eine dem Indikativ gleichende Verbform anstelle der Ersatzform (würde + Infinitiv) benutzt werden. Dies gilt sogar als elegantes Deutsch.
Also: Er träumte von einer glücklichen Zukunft. Wenn er erst eine reiche Frau hätte und von ihr genug Geld bekäme, dann kaufte (nicht: würde er … kaufen) er sich einen schnellen Wagen, führe mit diesem jeden Tag durch die Landschaft und lebte (nicht: würde … leben) in Saus und Braus._
Beispiele für „ö“ statt „ä“ habe ich nicht so viele. Hier sind beider Formen verwendbar.
befehlen
Präteritum: er befahl
Konjunktiv II: er befähle / er beföhle
empfehlen
Präteritum: er empfahl
Konjunktiv II er empfähle / er empföhle
gelten
Präteritum: er galt
Konjunktiv II: er gälte / er gölte
Solltest du mehr Beispiele brauchen, such sie dir. 
Gruß Fritz