Kontrolle meiner Ableitungen

nirwarna · 10. September 2007 um 20:18

Hallo
könnte grad mal jmd über die Ausmultiplizierung meiner Matrizen und die damit verbundenen Ableitungen (Verchiebung, Drehungen, Masstäbe) schauen, ob das so stimmt.
Ich bin mir nicht sicher, aber evtl. ist irgendwo ein Fehler.

[cosy*cosz cosx*sinz+sinx*siny*cosz sinx*sinz-cosx*siny*cosz]
[-cosy*sinz cosx*cosz-sinx*siny*sinz sinx*cosz+cosx*siny*sinz]=R
[siny -sinx*cosy cosx*cosy]

[Mx 0 0]
[0 My 0]=M (Masstab)
[0 0 Mz]
´
X0
Y0= T (Translation)
Z0

xo
yo= Q
zo

Die Formel lautet dann E=T+M*R*Q
Ab hier weiss ich dann nicht, ob das stimmt.

ergibt ausmultipliziert:
X= XO + (xo * mx * cosy*cosz) + (yo * my * (cosx*sinz+sinx*siny*cosz)) + (zo * mz * (sinx*sinz-cosx*siny*cosz))

dazu die Ableitungen:
Verschiebung:
XXO = 1
XYO = 0
XZO = 0

Massstab:
Xmx = xo * cosy*cosz
Xmy = yo * (cosx*sinz + sinx*siny*cosz)
Xmz = zo * (sinx*sinz - cosx*siny*cosz)

Drehungen:
Xx = (yo * my * (cosx*siny*cosz - sinx*sinz)) + (zo * mz * (cosx*sinz + sinx*siny*cosz))
Xy = (-xo * mx * (siny*Cosz)) + (yo * my * (sinx*cosy*cosz)) - (zo * mz *(cosx*cosy*cosz))
Xz = (yo * my * (cosx*cosz - sinx*sinz*siny)) + (zo * mz * (cosx*sinz*siny + sinx*cosz)) - (xo * mx * (sinz*cosy))

dasselbe für Y:
Y= YO + (xo * mx * -cosy*sinz) + (yo * my * (cosx*cosz-sinx*siny*sinz)) + (zo * mz * (sinx*cosz+cosx*siny*sinz))

Verschiebung:
XXO = 0
XYO = 1
XZO = 0

Massstab:
Xmx = xo * (-cosy*sinz)
Xmy = yo * (cosx*cosz - sinx*siny*sinz)
Xmz = zo * (sinx*cosz + cosx*siny*sinz)

Drehungen:
Xx = (yo * my * (-cosx*siny*sinz - sinx*cosz)) + (zo * mz * (cosx*cosz - sinx*siny*sinz))
Xy = (xo * mx * siny*sinz) - (yo * my * sinx*cosy*sinz) + (zo * mz * cosx*cosy*sinz)
Xz = (yo * my * (-sinx*cosz*siny - cosx*sinz)) + (zo * mz * (cosx*cosz*siny - sinx*sinz)) - (xo * mx *cosz*cosy)

dasselbe für Z:
Z= ZO + (xo * mx * siny) + (yo * my * (-sinx*cosy)) + (zo * mz * (cosx*cosy))

Verschiebung:
XXO = 0
XYO = 0
XZO = 1

Massstab:
Xmx = xo * siny
Xmy = yo * (-sinx*cosy)
Xmz = zo * (cosx*cosy)

Drehungen:
Xx = - yo * my * cosx*cosy - zo * mz * sinx*cosy
Xy = (xo * mx * cosy) + (yo * my * sinx*siny) - (zo * mz * cosx*siny)
Xz = 0

Heute stimmt auch das Format *seufz*
Wenigstens etwas, Mfg Werner

infestimus_22851d · 13. September 2007 um 00:17

[cosy\*cosz cosx\*sinz+sinx\*siny\*cosz sinx\*sinz-cosx\*siny\*cosz]
[-cosy\*sinz cosx\*cosz-sinx\*siny\*sinz sinx\*cosz+cosx\*siny\*sinz]=R
[siny -sinx\*cosy cosx\*cosy]

Das ist falsch!

Das ist nicht R (x,y,z) = R_z (z)\ *R_y (y)\ *R_x (x) sondern die Matrix ist

R (-x,-y,z). D.h. oben müssen x-> -x und y -> -y ersetzt werden.

Wie kann man sich das übrigens merken?

Wenn ich um die z-Achse drehe, dann wird nach der „Rechte-Hand-Regel“

e_x -> R_z (z)\ *e_x = cos(z)\ *e_x + sin(z)\ *e_y

sin(z) tritt auf statt -sin(z), da {z,x,y} in R_z , e_x , e_y eine gerade Permutation von {x,y,z} ist.

Analog gilt

R_x (x)\ *e_y = cos(x)\ *e_y + sin(x)\ *e_z

R_y (y)\ *e_z = cos(y)\ *e_z + sin(y)\ *e_y

Um das Vorzeichen zu prüfen reicht cos(φ) = 1 und sin(φ) = φ

R_z (z) * R_y (y) * R_x (x) =

[1 -z 0] [1 0 y] [1 0 0] [1 -z y]
[z 1 0]\*[0 1 0]\*[0 1 -x] = [z 1 -x]
[0 0 1] [-y 0 1] [0 x 1] [-y x 1]

Probe

[1 -z y] [1] [1]
[z 1 -x] \* [0] = [z] etc.
[-y x 1] [0] [-y]

die y-Komponente erhält ein wenig +z durch Drehung um die z-Achse, da {z, x, y} zyklisch, und die z-Komponente erhält -y durch Drehung um die y-Achse, da {y,x,z} antizyklisch.