Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super!.
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
cn = n!/n^n
Hallo,
leider kann ich Deinem Fall nicht helfen, da ich zum Vorrechnen im Moment leider gar keine Zeit habe.
Gruß
bo_bec
Hallo Larry,
Konvergenzbetrachtungen sind immer ganz eng an die algebraische Struktur der konvergierenden Folge gekopppelt. Der Weg, der hier dargestellt ist, kann für eine andere Folge (oder Reihe) völlig unbrauchbar sein!
Die gegebene Folge ist monoton fallend, wie man leicht bei der Betrachtung der ersten Folgeglieder sieht: 1/ 0,5/0,22/0,09375/0,03840/ …
Ferner sind alle Folgeglieder positiv.
Daher kann man nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgern, dass sie konvergiert:
(I) Für alle n gilt: c(n+1) n^n
(II) Die Folge ist nach unten bechränkt durch 0, denn n! > 0 und n^n > 0, also auch n!/n^n.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt also, dass es einen Grenzwert gibt.
Vermutung: g = 0. Dieser Beweis kann entweder direkt über die Epsilontik erfolgen oder über die Einschachtelungsbeziehung (u. U. mit Hilfe der vollständigen Induktion).
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsverankerung: Die Aussage gilt für n=1, denn 1*1! = 1*1 = 1 = 1^1!
Induktionsschritt:
Induktionsannahme: Die Aussage filt für eine beliebige Zahl n.
Induktionsschluss: Dann muss sie auch für die nachfolgende Zahl n+1 gelten:
(n+1)*(n+1)! ≤ (n+1)^(n+1) n*n*n! + 1*n*n! ≤ n*(n+1)^n+1*(n+1)^n
Nach Ind.annahme ist aber n*n*n! ≤ n*n^n also auch ≤ n*(n+1)^n und desgleichen gilt: 1*n*n! ≤ n^n ≤ 1*(n+1)^n, was zu beweisen war.
Hi, bei diesen aufgaben muss man sich überlegen, welcher Wert schneller wächst: Zähler oder Nenner? Ist es der Zähler, dann konvergiert die folge gegen Inf, sonst gegen 0. andere grenzwerte ereben sich nur bei komplexeren folgen oder der Art a+x/(x+1).
Grüße,
JPL
Lieber Larryhunter,
wenn man zeigen kann, dass alle Glieder einer positiven Zahlenfolge kleiner als die entsprechenden Glieder einer Nullfolge sind, so hat man bewiesen, dass die Ausgangsfolge eine Nullfolge ist.
In unserem Fall kann man z.B. folgende Abschätzung vornehmen:
c100 = (1·2·3·…·100)/(100·100·100·…·100)
= 1/100 · 2/100 · 3/100 · . . . · 100/100
Die ersten 50 Faktoren sind jeweils kleiner oder gleich 0,5;
die letzten 50 Faktoren sind jeweils kleiner oder gleich 1 (das ist sogar sehr großzügig abgeschätzt). Damit ist das gesamte Produkt sicher kleiner als 0,5^50. c1000 ist kleiner als 0,5^500 u.s.w. Also ist der Grenzwert von c Null.
Ich hoffe, das hilft weiter
Gruß, J. Huber
Hallo larryhunter!
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und
bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.cn = n!/n^n
Also hier würde ich einfach das Konvergenzkriterium verwenden, nach dem eine monotone, beschränkte Folge konvergent ist. Beachte bitte, dass für die anderen Deiner Konvergenzaufgaben dieses Kriterium vielleicht nicht hilfreich ist, sondern andere Kriterien angewendet werden müssen.
Ich zeige zunächst die Monotonie der Folge. Sei also c_n := \frac{n!}{n^n}
Dann gilt
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)! n^n}{(n+1)^{(n+1)}n!}
Nun kürzt man (n+1)! gegen n!:
\frac{(n+1)! n^n}{(n+1)^{(n+1)}n!} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{(n+1)}}
Und noch (n+1) aus dem Zähler gegen den Nenner:
\frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{(n+1)}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = (\frac{n}{n+1})^n
Für alle natürlichen Zahlen n ist der Bruch \frac{n}{n+1} kleiner als 1, da der Zähler n immer kleiner ist als der Nenner n+1. Die n-te Potenz dieses Bruchs ist somit ebenfalls kleiner als 1. Insgesamt gilt also für alle natürlichen Zahlen n:
\frac{c_{n+1}}{c_n}
Somit ist die Folge monoton fallend.
Nun zur Beschränktheit. Es ist
c_n = \frac{n!}{n^n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n}{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n \cdot n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n}
Für jeden dieser einzelnen Brüche gilt, dass er kleiner oder gleich \frac{n}{n} = 1 ist. Also ist
\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \ldots \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n}
Außerdem gilt c_n >= 0 für alle n, wie Du an der Definition der Folge sehen kannst.
Somit ist die Folge monoton fallend und beschränkt und damit konvergent.
Bezüglich Grenzwert betrachte noch einmal Die Brüche von oben. Es gilt
\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \ldots \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n}
denn die Brüche waren ja alle kleiner gleich 1. Wir lassen diesmal nur den ersten Bruch \frac{1}{n} unangetastet. Damit haben wir
0
Es ist dann
\lim_{n \to \infty} 0
Also
0
Und damit ist \lim_{n \to \infty} c_n = 0.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.
Viele Grüße
Karsten
cn = n!/n^n=(n-1)!/n^(n-1)=[(n-1)*(n-2)*…*2*1] /[n*n*n*…*2*1] = (1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)*…
lim cn für n–>unendlich = 1*1*1*…*0 = 0
Hallo,
tut mir leid, dass es etwas länger gedauert hat und hoffe, die Antwort hilft Dir noch:
Man kann cn auch wie folgt darstellen:
n! 1*2*…*n 1 2 n
cn = — = -------- = — * —* … * —
n^n n*n*…*n n n n
Zeigen wir zuerst, dass die Folge konvergent ist:
cn > 0 dürfte offensichtlich sein, also ist die Folge nach unten beschränkt.
Wegen
(n+1)! n! n!
c(n+1) = ---------- = --------
Fast immer müssen die Grenzwertsätze bei solchen Aufgaben benutzt werden…
Hier hilft zudem eine Zerlegung
n!/
n^n =(1/n)*(2/n)*(3/n)…*(n/n)
Alle Teilfolgen haben Grenzwert 0 oder 1, sodass ihr Produkt gegen 0 strebt. Dies ist der Grenzwert der Gesamtfolge.
Sorry Hunter,
hatte leider keine Zeit. Noch aktuell?
Gruß, pw
Keine Ahnung