Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super.!
Es sei f: N -> N bijektiv und die reelle Zahlenfolge (a index n)index n konvergiere gegen ein a € R.
Beweisen Sie, dass dann auch (a index f(n)) index n € R gegen a konvergiert.
Konvergenz einer Zahlenfolge
Sehr geehrter Herr Schuler,
was halten Sie hiervon:
Aus der Definition der Konvergenz der Zahlenfolge (a index n) gegen a erhalten Sie: Für alle epsilon > 0 gibt es ein n index 0, sodass für alle n > n index 0 gilt: Betrag von (a index n - a) Cmax gilt nun f(n) > n index 0 (denn so ist Cmax konstruiert worden). Damit folgt aber aus (*):
Für alle n > Cmax gilt: Betrag von (a index f(n) - a) N bijektiv und die reelle Zahlenfolge (a index
n)index n konvergiere gegen ein a € R.
Beweisen Sie, dass dann auch (a index f(n)) index n € R gegen
a konvergiert.
Hallo,
ich kann Dir nur eine Beweisidee liefern.
f ist bijektiv, also auch injektiv, also streng monoton. Und zwar steigend, da N nach unten beschränkt ist.
Ebenso werden alle Werte von N angenommen, da f auch surjektiv ist.
Damit muss f(n) die Identität sein.
an = af(n) -> a
Hi,
Nimm die Eigenschaften (Definition) der Bijektivität her und wende das dann an, um eine Beziehung zwischen a_n und a_f(n) herzustellen - und dann zeige, dass a_f(n) auch die Kriterien der Konvergenz erfüllt, wenn a_n das tut.
Wenn ich heut abend mehr zeit hab, schreib ich nochmal ausführlicher, aber ich denke, damit müsstest du erstmal zurecht kommen.
ciao,
Amoeba
Hi,
sorry aber da kann ich echt nicht weiterhelfen.
lg
Hallo tomschuler,
Du solltest die Definitionen von Injektivität, Surjektivität und Konvergenz wiederholen.
Wenn das klar ist, kannst du wie folgt argumentieren:
Da f(x) bijektiv ist und von N-> N definiert,
divergiert limf(x)= +unendlich für x-> unendlich
Da lim a(n)= a für n->+unendlich ,
ist lim a(f(n))= a für n-> unendlich, also konvergent gegen a
so lässt sich der zu führende beweis aus der bijektivität und konvergenz der funktion und der folge ziehen.
Ich hoffe das hilft!
Guten Tag
Diese Frage kann ich so leider nicht beanworten, denn
Hallo,
mir scheint, der leichteste Beweis ist, die gegenteilige Annahme auf einen Widerspruch zu führen:
Zunächst bedeutet die Konvergenz a_n\rightarrow a definitionsgemäß, daß es zu jedem \epsilon>0 einen Index n_\epsilon\in\mathbb{N} gibt, ab dem (d.h. für n>n_\epsilon) der Abstand aller Folgenglieder a_n zum Grenzwert a kleiner als \epsilon ist: |a_n-a|.
Würde die Folge a_{f(n)} nun nicht auch gegen a konvergieren, könnte man nicht für jedes \epsilon>0 ein n’_\epsilon\in\mathbb{N} finden, so daß |a_{f(n)}-a| für alle n>n’_\epsilon. Da aber |a_{f(n)}-a|\ge\epsilon nach der Voraussetzung nur für endlich viele n gelten kann, nämlich wenn f(n)\le n_\epsilon\in\mathbb{N}. Die Menge aller n mit |a_{f(n)}-a|\ge\epsilon muß folglich ein Maximum n’_\epsilon haben, ab dem |a_{f(n)}-a| gilt. Da das bedeutet, daß a_{f(n)} doch gegen a konvergiert, ist der gesuchte Widerspruch gefunden und die ursprüngliche Aussage bewiesen.
Schöne Grüße,
Manfred
Hallo!
Meine Uni-Zeit liegt schon ein paar Jahre zurück - ich erinnere mich grad nur sehr dunkel, da ich selbst momentan Klausuren erstellen muss.
Daher hoffe ich, dass Dir jemand anderes helfen kann!
Viele Grüße und viel Erfolg
Fabian
Kommentar zur ersten Antwort
Heike Margot Jansen hat am 18.11.2010 um 09:22 geschrieben:
f ist bijektiv, also auch injektiv, also streng monoton.
Das mag für _ stetige _ Funktionen reeller Zahlen gelten, im Allgemeinen jedoch nicht für Abildungen zwischen natürlichen Zahlen!
Damit muss f(n) die Identität sein.
Ein einfaches Gegenbeispiel:
f(n) = \left{\begin{array}{l}n+1,\mbox{ wenn $n$,mod,3 $\equiv$ 0 oder 1}\n-2,\mbox{ wenn $n$,mod,3 $\equiv$ 2}\end{array}\right.
D.h.:
f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=0,\quad f(3)=4,\quad f(4)=5,\quad f(5)=3,\quad …
Schöne Grüße,
Manfred
Hi,
zeige zuerst folgende Aussage über f:
Für jedes feste n gibt es ein m, so dass f(k) >= n für alle k >= m.
Mit dieser Aussage ist der Beweis nicht mehr schwer.
HTH
soja
Hallo tom,
Leider ist mit nicht klar, ob es sich um hoch gestellte Indizes (=Potenzen) oder tiefgestellte Indizes handelt.
Bitte Schreibe a^b wenn Du die b-te Potenz von a meinst.
So kann ich das leider nicht beantworten.
Bernd
Hallo,
es tut mir leid, aber Beweise sind nicht meine Stärke. Ich kann Ihnen nicht weiterhelfen. Ich hoffe, dass ein anderer Experte Ihnen weiterhelfen kann/konnte.
Viele Grüße