Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super!
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
cn = n!/n^n
Hallo Larryhunter - kannst du mir noch sagen im welchen zusammenhang du das brauchst - Schule, wenn ja welche KLasse - oder FH, oder Uni?
Hallo Larryhunter - kannst du mir noch sagen im welchen
zusammenhang du das brauchst - Schule, wenn ja welche KLasse
- oder FH, oder Uni?
für die uni
sorry, da kann ich dir nicht helfen
Lieber larryhunter,
ich kann dieses Beispiel gerne vorrechnen, aber natürlich wird der Ansatzpunkt bei jeder Aufgabe ein anderer sein! Das nur als Hinweis.
In dem Fall der Folge mit den Gliedern c_n = n!/n^n werden wir uns einfach bekannter Grenzwerte bedienen.
Wir moechten also folgenden Grenzwert bestimmen (das n->infinity lasse ich der Uebersichtlichkeit halber weg, auch wenn es ein wesentlicher Bestandteil der Berechnung ist!)
lim c_n
Als erstes schreiben wir c_n etwas anders auf:
= lim 1/n * 2/n * 3/n *** n/n
Nun sehen wir sofort, dass jeder einzelne Bruch betragsmaessig = 0 folgt.
Damit kann nur noch lim c_n = 0 gelten.
Soviel dazu, wenn noch Fragen sind, einfach nochmal melden 
Bei anderen Folgen kann es noetig sein, dass man die Folgenglieder noch weiter umformen muss, bis man tatsaechlich etwas „erkennen“ kann. Es gibt auch noch die Regel von l’Hospital, die manchmal hilfreich ist. Ausserdem kann es vorkommen, dass man direkt die Definition des Grenzwertes zum Beweis heranzieht - dass man also zu einem epsilon>0 ein passendes N findet…
Viel Erfolg und Gruesse
Christian
Ein Rezept, das immer gleich funktioniert, gibt es bei KOnvergenz nicht. Aber viele Kriterien.
In diesem Fall kann man sich den Term erstmal aufdröseln, dann sieht man, dass jedes Glied c_n zwischen 0 und 1 liegt (oben im Zähler n Faktoren von 1 bis n, unten im Nenner n Faktoren, die alle gleich n sind).
Außerdem kann man durch Vergleich von c_n und c_n+1 zeigen, dass die Folge monoton fallend ist. Ich vermute, dass es eine Nullfolge ist, also Grenzwert 0.
Was habt ihr denn für Kriterien durchgenommen? Bei mir ist das alles schon 15 Jahre her, aber ich weiß, da gab es was mit Majorantenkriterium und noch ein paar weitere. Wenn ich die Stichworte höre, fällt es mir bestimmt wieder ein.
Oder man zeigt für jedes epsilon >0, dass es ein n gibt, sodass c_n
Um einen groben Überblick zu bekommen, kannst du die Folge in eine Excel tabelle eingeben und sehr schnell „sehen“, dass der Grenzwert 0.
Mathematisch beweist man das so:
cn = n!/n^n= 1/n*(2/n*3/n*…*n/n)
Hallo,
das ist ein Grenzwert vom Typ „unendlich“ / „unendlich“
der kann konvergieren aber auch divergieren. Also hilft hier nur geschicktes umwandeln.
Vielleicht o:
Zähler n! hat n Faktoren: nämlich 1*2*3*…*n
Nenner hat ebenfalls n Faktoren: n*n*n*…*n
Aufgeteilt entsteht das Produkt aus n Brüchen der Form:
1/n*2/n*3/n*…*n/n und das ist:
1/n*2/n*3/n*…*1.
Bis auf den letzten Faktor (der 1 ist) gehen alle gegen Null.
Also: 0*0*0*…*1 = 0
Das müsste es sein
Gruß Frank
cn = n!/n^n
also da ich nicht weiß, wieweit du das schon sicher kannst, verzeih mir wenn ich überflüssiges erwähne^^
konvergenz heißt, dass es sich an einen grenzwert annähert, diesen jedoch nie erreicht. wenn man sich die folge als graph vorstellet, dann ist der grenzwert ein bestimmter eine gerade, die parallel zur x-achse verläuft.
hier ist jetzt die folge n!/n^n. wir haben hier einen bruch, was bedeutet, dass wir uns anschauen müssen, wie sich zähler und nenner bei wachsendem n verhalten.
als beispiel: 3!=6; 4!=24 (für größere müsste ich jetz rechnen, aber versteht sich glaub ich auch so^^), also wächst der zähler schonmal dauerhaft. n^n ist denk ich mal auch klar, 2^2=4 3^3=27 usw. beide wachsen also.
als nächstes müssen wir uns nun das verhältnis anschauen, also ob ein stärker wächst als das andere.
das ist mit einem einfachen beispiel geklärt:
n=100
n!=1x2x3x4x5…x99x100
n^n= 100x100x100…x100x100
bei beiden sind es exakt 100 multiplikatoren. nun ist, denke ich, unschwer zu erkennen, dass n^n deutlich größer wird als n! (1x2
im drittletzten absatz, nach der rechnung, bitte multiplikatoren dur „faktoren“ ersetzen, falsche bezeichnung, tut mir leid…