Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super!!
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
cn = n!/n^n
Lieber larryhunter
Für die Bestimmung der Konvergenz kann man das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium einsetzen.
Leider ist es ein nicht ganz einfaches Beispiel um die Theorie zu lernen.
Ich verwende das Quotientenkriterium und bestimme den Grenzwert n -> oo von:
c[n+1]/c[n] = (n+1)!/((n+1)^(n+1)) / n!/n^n
Nun versucht man möglichst viel zu kürzen:
= ((n+1)! n^n / (n! (n+1)^(n+1))
= (n+1) n^n / ((n+1)^n * (n+1))
= (n/(n+1))^n
Man sollte diesen Grenzwert bestimmen. Nicht ganz einfach, ausser man weiss, dass
lim ((n+1)/n)^n = lim (1 + 1/n))^n = e (Eulersche Zahl)
Wir suchen den reziproken Grenzwert
lim (n /(n+1))^n und erhalten (mit den Grenzwertsätzen) 1/e.
Das Ergebnis: Die Reihe mit cn = n!/n^n konvergiert, da lim c[n+1]/c[n] = 1/e
Soll das heißen natürlicher Logarithmus von n hoch n?
Hallo larryhunter,
ich glaube nicht dass deine gestellte Aufgabe zum Anfang passt. Hier zeige ich dir mal etwas leichteres:
an= n^4-n^3+34/(n^2-n^4+pi)
Also schreibe ich mal:
a(n) = (n^4 - n³ + 34)/(- n^4 + n² + п)
Dann klammerst Du in Zähler und Nenner n zur höchsten im Nenner auftretenden Potenz aus, das wäre hier n^4
Im Zähler erhältst Du:
n^4 ( 1 - 1/n + 34/n^4)
Im Nenner erhältst Du:
n^4 ( -1 + 1/n² + п/n^4)
Nun kannst Du n^4 kürzen.
Wenn Du jetzt den Limes für n -> unendlich bilden willst, siehst Du, dass fast nur noch Nullfolgen übrig bleiben.
Es bleibt lediglich im Zähler 1 und im Nenner -1.
Nun musst Du nur noch 1/(-1) ausrechnen und hast den Grenzwert.
(Das gilt nach den Grenzwertsätzen, dass der Grenzwert der Summe/Differenz/des Quotienten zweier Folgen gleich der Summe/Differenz/dem Quotienten der Grenzwerte ist.)
So was zum Beispiel.
Für deine gestellte Frage braucht man viel Zeit.
Hier mal ein Link über Konvergenz, falls du es noch nicht gesehen hast:
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)
Bis dann.
Konvergenz einer monoton fallenden Folge.
Wenn man die ersten paar Folgenglieder ausrechnet
c1 = 1, c2 = 1/2, c3 = 2/9, c4 = 3/32
kommt man auf die Vermutung, dass die Folge monoton
fallend ist.
Beweis: Es ist einfacher dies für die logarithmierte Folge
log(ck) zu zeigen. Man beachte, dass die Folge (ck) monoton
fallend ist genau dann, wenn log(ck) monoton fallend ist.
Das ist so, weil die Logarithmusfunktion monoton wachsend
ist.
Nun ist also:
log(c(n+1))-log(cn)) = log(n+1)-(n+1)log(n+1)+nlog(n)
= nlog(n)-nlog(n+1)
Hi,
tut mir leid, aber das Thema ist bei mir einfach zu lange her (30 Jahre). Mir fehlt gerade auch die Zeit, mich in das Thema reinzudenken, da ich beruflich grad in einigen Projekten stecke.
Mit freundlichen Grüßen
Marion
Hallo larryhunter,
welche Definition und vor allem welche Sätze dürfen denn genutzt werden?
Zum generellen Vorgehen findet man Beispiele unter
http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehi…
Bei der Folge kann man nutzen, dass n!
Gab es da nicht bestimmte Kriterien, wann eine Folge konvergiert? Quotientenkriteriuem? Was weißt Du denn für Kriterien und Vorgehensweise? Ich habe keine Zeit/Lust, selbst alles wieder rauszusuchen.
c_n+1 = n! / (n+1)^n (ein Mal n+1 gekürzt)
|c_n+1|
Hallo,
als Hinweis dazu kann ich Dir sagen, dass man häufig versucht, Unbekanntes durch Bekanntes zu ersetzen. Du kannst hier die Folge durch kurze Überlegung etwas anders (also ausführlich) aufschreiben. Dann kann man gut sehen, dass man die Folge nach oben hin abschätzen kann durch eine etwas „einfachere“ (für die weitere Berechnung), nämlich (n-1)^(n-1)/n^(n-1). Hier kann man dann mit der Definition der Konvergenz (Sei [Epsilon]>0, dann gibt es ein n (zu bestimmen!)… und so weiter) den (offensichtlichen) Grenzwert nachweisen. Ach so, da natürlich c_n > 0 muss der Grenzwert natürlich auch mindestens 0 sein.
Viele Grüße
Tobias
Hallo,
leider weiß ich das auch nicht. Sorry!
Ich kann dir nur sagen, dass Konvergenz bedeutet, man muss einen Grenzwert finden (also wie beim lim n-> unendlich). Man schaut gegen welchen Wert die Folge konvergiert, heißt man findet den „Schwerpunkt“ der Folgenwerte.
Vielleicht hilft dir das ja ein bisschen.
MfG
Bettina