Konvergenz

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super!!!

Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

cn = n!/n^n

#2

Hallo,

du kannst n! als 1*2* … *n schreiben und n^n als n*n*n …*n.
Dann bekommst du: 1/n * 2/n * … *n/n
Weiters gilt für a

#3

Hallo

denkt man sich den Term für cn ausgeschrieben,dann erhält man:
cn = (1*2*3*4*…*(n-1)*n) / (n*n*n*n … *n)
= (1/n)*(2/n)*(3/n)*(4/n)*…*((n-1)/n)*(n/n)
Der Letzte Faktor ist 1 und alle Faktoren davorsind kleiner als 1.Da für n gegen Unendlich die Faktoren ,welche kleiner Eins und positiv sind,immer mehr werden ,ist der Grenzwert N U L L.

Gruß

#4

Hi
Die Folge divergiert wie Sqrt(n), siehe Stirling’sche Formel (google). Das ist ein spezieller Fall und kein Beispiel dafuer, „wie sowas auszusehen hat“.
Gruesse
T

#5

Hallole,

in der Vorlesung wurden doch sicher ein paar Konvergenzkriterien behandelt. Unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium
ist eine Liste ( u. Buchhinweis ).

Das eine angegebene Beispiel sieht für das Quotientenkriterium passend aus. Siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Also eine Abschätzung für
c(n+1) / c(n)
Werte einsetzten und kürzen:
1/( n + 1 )^2 * ( 1 / ( 1 + 1/n ))^n

  1. Faktor d. Produkts ist eine Nullfolge. 2. Faktor hat als Limes 1.
    Also konvergiert die Folge cn.
    Zwischenschritte habe ich nicht aufgeschrieben.

Gruß
G. Aust

#6

Konvergenz zeigen
Hey Larry,

da hast du dir nicht gerade ein schönes Beispiel ausgesucht :smile: Das Problem hierbei ist, dass man bei der Berechnung deines Grenzwertes eine weitere Formel benutzen muss: die so genannte Stirling-Formel.

Momentan fällt mir nur der extrem komplizierte Fall ein:

\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2\pi n} \cdot e^{-n} \cdot n^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2\pi n} \cdot e^{-n} = 0

Die letzte Gleichung folgt z.B. aus L’Hospital.

Wenn mich nicht alles täuscht, ging folgende Überlegung nicht :

\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot \dots \cdot n}{n \cdot n \cdot \dots \cdot n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \dots \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^n} = 0 \cdot \dots \cdot 0 = 0

Ich hoffe ich konnte ein klein wenig weiterhelfen - ich bezweifel es allerdings :smile:
Gruß René

#7

Hallo,
also die genannte Zahlenfolge ist konvergent und hat den Grenzwert 0.
Dazu genügt es, zu zeigen, dass die Folge beschränkt ist und dass die Folge monoton ist.

  1. Die Folge ist beschränkt, alle Glieder sind kleiner oder gleich 1:
    dazu schreibe ich n!/n^n als n Einzelbrüche auf 1/n * 2/n * … * n/n. die ersten n-1 Einzelbrüche sind kleiner als 1 (der Nenner ist größer als der Zähler), der letzte Einzelbruch n/n ist gleich 1.
  2. Die Folge ist für n größer als 1 monoton fallend:
    dazu muss ich (n+1)!/((n+1)^(n+1)) vergleichen mit dem Vorgänger n!/n^n. Den Zähler des ersten Bruches zerlege ich in n!*(n+1), den Nenner in ((n+1)^n) *(n+1). Den Faktor (n+1) kann man herauskürzen und erhält n!/((n+1)^n, dieser Bruch ist sicher kleiner als n!/n^n, weil der Nenner (n+1)^n größer ist als n^n.

* heißt multiplizieren
^heißt potenzieren
Das sieht in dieser Schreibweise alles sehr verwirrend aus. Ich schicke Dir gern ein Word-Dokument in normaler Schreibweise.

Gruß jobie38

#8

Hallo,

ich weiß nicht, ob es der kürzeste Weg ist, aber ich würde es so machen:

Behauptung: Der Grenzwert von cn ist 0.
Zu zeigen: Für alle epsilon>0 existiert ein i aus N, so dass cn=i.

Beweis: Zeige zunächst, dass cn monoton fallend ist.
Es gilt:
(n+1)!/(n+1)^(n+1)=(n!*(n+1)/((n+1)^n*(n+1))=n!/(n+1)^n 0 ein i existiert, so dass ci1/epsilon, also 1/i

#9

Hallo,
danke für die Antwort. Das hilft mir gut weiter.
Eine FRage noch:

Behauptung: Der Grenzwert von cn ist 0.
Zu zeigen: Für alle epsilon>0 existiert ein i aus N, so dass cn=i.

heißt das cn

#10

Hallo larryhunter,
das stimmt so. i und n stehen für natürliche Zahlen.
Das i steht in diesem Fall für die Grenze, ab der die Folge cn den Grenzwert unterschreitet.

Das ist wie bei f(x), man kann auch f(x0) sagen oder f(a), und trotzdem ist es die gleiche Funktion.

Jetzt will ich’s aber wissen: Wofür brauchst du das ganze?

Gruß P.G.

#11

Tipps zur Konvergenz
Hallo,

erstmal: du hast gar nichts davon, wenn wir dir hier die Aufgabe vorrechnen. Erstmal solltest du uns sagen, was du dir bislang überlegt hast. Dann können wir dir Tipps geben, mit denen du dann hoffentlich selbst auf die Lösung kommst.

Hier nun — ausnahmsweise — ein erster Tipp:
Du kannst c_n schreiben als

c_n = 1/n * (2•3•4•••n / n^(n-1))

Den zweiten Faktor kannst du recht simpel nach oben abschätzen, nämlich gegen was? Wohin konvergiert der erste Faktor? Was bedeutet das für das Produkt?

Viele Grüße!

#12

Gestern habe ich geschrieben:

Dazu genügt es, zu zeigen, dass die Folge beschränkt ist und dass die Folge monoton ist.

Besser:
diese Folge ist nach unten beschränkt (alle Glieder sind positiv) und die Folge ist monoton abnehmend.

Gruß
jobie38

#13

Hallo Larry

Also das angegebene Beispiel ist relativ einfach. „Abschätzen“ lautet das Stichwort. Ausgeschrieben lautet die Folge

c(n) = 1*2*3*…*n / (n*n*…*n). Oben n Faktoren, unten n. Das lässt sich auch schreiben als:
1/n * 2/n * … * n/n. Denkst du dir diesen Ausdruck gruppiert als 1/n * einen Rest, dann stellst du fest, dass dieser Rest (2/n * 3/n * … * n/n) für n>2 stets kleiner ist als 1 (und positiv). D.h. für n>2 gilt stets 0