Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super!!!
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
cn = n!/n^n
Hallo larryhunter.
Leider gibt es für dir von dir gegebene Art Folgen kein allgemeines Vorgehen, sondern man muss mit einem gewissen „mathematischen Blick“ erkennen, wie sich das vermutete Ergebnis beweisen lässt.
Nun zu deinem Beispiel:
zunächst setzt man möglichst große Werte in den TR ein, um zu sehr was bei größer werdenden n passiert:
n - cn
1 - 1
10 - 0,004
50 - 3,4*10^-21
größere Werte kriegt der Taschenrechner bald schon nicht mehr hin bei dieser Aufgabe, bei anderen Aufgaben kann man unter Umständen erst etwas erkennen, wenn man bedeutend größere Zahlen für n einsetzt.
Hier aber scheint unser cn gegen 0 zu laufen.
Diese Vermutung muss man jetzt beweisen.
Das geht je nach Aufgabentyp durch geschicktes umformen oder Beweis durch Induktion oder beides.
Für diese Aufgabe kann man einerseits Umformen zu
n! = 1*2*3*4*…*n (n Faktoren)
n^n =n*n*n*n*…*n (n Faktoren)
also n!/n^n
= 1/n * 2/n * 3/n * … * n/n, wobei der letzte Faktor 1 ist, alle anderen Faktoren sind größer 0 und kleiner 1. Damit haben wir für wachsende n die vermutete Nullfolge forliegen.
Man kann sich auch das Verhältnis aus Folgeglied und Nachfolger ansehen:
[(n+1)!/(n+1)^(n+1)]/[n!/n^n]
=[n!*(n+1) * n^n] / [n! * (n+1)^(n+1)]
= [(n+1)*n^n]/[(n+1)^(n+1)]
= n^n / (n+1)^n
Die ist natürlich für Konvergenz schon ziemlich harter Anfang xD Aber ich versuch dir mal klar zu machen, was denn im Zähler steht und was im Nenner.
Fangen wir mal gering an: n = 4
ist sicher: 4*3*2*1 im Zähler und 4*4*4*4 im Nenner
so das macht dann ein unendliches Produkt konvergenter Ausdrücke
n/n * (n-1)/n * (n-2)/n * … * 2/n * 1/n
Nach Produktregel konvergenter Folgen kann man nun jeden einzelnen Grenzwert ausrechnen, aber wozu kompliziert machen: Du weißt also das alle Ausdrücke konvergent sind und 1/n für n -> °° wird 0. 0 mal irgendwas = 0 ist Grenzwert der Folge.
Tut mir leid, da kann ich leider nicht weiter helfen.
lg
Es gibt leider kein allgemeines Rezept. Im vorliegenden Fall ist es aber einfach, weil cn immer kleiner als 1/n und größer als 0 ist. Deshalb konvergiert cn gegen 0.
( cn = 1/n * 2/n * 3/n *…* n/n 1 )
Gruß
Dietmar.
Hallo larry!
Im Prinzip geht es nur darum bei dieser Art Aufgabe zu untersuchen, ob es einen Grenzwert für die Folge gibt, das heißt den limes (Grenzwert) für n gegen unendlich zu bestimmen. Im konkreten Fall n!/n^n gilt, wenn n größer wird, wird n^n schneller größer als n!, wenn der Nenner schneller wächst als der Zähler geht der Quotient gegen null. Die Folge konvergiert also gegen 0.
Ein in jedem Fall fuunktionierender Trick ist zwei große Zahlen (in der Regel reichen Zahlen um 10) für n einzusetzen und zu prüfen ob ein Grenzwert erreicht wird.
Ich hoffe das hilft, bei Nachfragen einfach melden,
LG Dennis
Hier ist eine Seite mit Erklärungen:
http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehi…
Ich denke, die Folge wird gegen 0 konvergieren. Sie muss konvergieren, da die Folge abnimmt und 0 als untere Schranke hat.
Über einem Beweis darüber müsste ich schon ein wenig grübeln, habe aber keine Zeit dazu.
Mit freundlichen Grüßen
Marie-Luise