Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen hat. Wär echt super!
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
cn = n!/n^n
…
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und
bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.cn = n!/n^n
…
Klingt nach einer Aufgabe aus dem Mathematik-Studium.
Dann sähe das so aus:
Beh.: cn = n!/n^n konvergiert gegen 0
Bew.:
Z.z.: n!
n! ist für n>1 immer kleiner als n^n, deshalb konvergiert die Folge gegen 0.
Hallo,
Ich versuche es mit einfachen Überlegungen ohne Anwndung von Konvergenzkriterien:
cn= n!/n^n = 1*2*3*4…*(n-1)*n/n*n*n*n…*n
Im Zähler und Nenner stehen n Faktoren, wobei der letzte Faktor im Zähler und Nenner gleich ist. Ich kürze sie und erhalte
cn = 1*2*3*4…*(n-1)/n*n*n*n*n…*n
mit (n-1) Faktoren im Zähler und Nenner. Nun ist jeder Faktor im Zähler kleiner als im Nenner, also 1/n Unendlich ergibt sich 0*0*0…*1. Daraus schliesse ich, dass der Grenzwert 0 ist.
Eine Berechnung mit EXCEL zeigt folgendes:
n n!/n^n
2,00E+000 5,00E-001
3,00E+000 2,22E-001
4,00E+000 9,38E-002
5,00E+000 3,84E-002
6,00E+000 1,54E-002
7,00E+000 6,12E-003
8,00E+000 2,40E-003
9,00E+000 9,37E-004
1,00E+001 3,63E-004
1,10E+001 1,40E-004
1,20E+001 5,37E-005
1,30E+001 2,06E-005
1,40E+001 7,85E-006
Schon bei n = 14 ist der Wert auf 7,85*10^-6 gesunken.
Das ist kein strenger Beweis für den Grenzwert. Dazu müsste man sich intensiv mit den vielen Konvergenzkriterien beschäftigen und das geeignete finden.
Ich hoffe, ein wenig geholfen zu haben. Rückfragen sind erlaubt.
Lieber Larry,
ihr seid zwar alle groß in Wiki. Ihr wisst bloß net, wo ihr nach sehen sollt. Solltest du die Stirlingformel wirklich nicht kennen, lebst du verkehrt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Formel
Da die e-Fkt. jede Potenz ( auch ^ 1/2 ) unterdrückt, geht dein Grenzwert gegen null. ( Oder du quadrierst deine Formel; dann steht im Zähler n und im Nenner exp ( 2 n ) ; dann wirds noch offensichtlicher.
Hallo larryhunter,
wer-weiss-was ist - wie bereits gesagt - keine Hausaufgaben-Hilfe. Daher abermals keine Antwort!
Mfg
Ted
da hilft vorrechnen nicht, jede folge muss gesondert analysiert werden.
hier kannst du den ausdruck einfach als produkt aus n faktoren aufschreiben, n-1 davon durch 1 abschaetzen, die resultierende folge kennst du dann vermutlich schon, und das sandwichkriterium macht den (oft kaum einer bemerkung wert befundenen) rest.
Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde
mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als
Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen
hat. Wär echt super!Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und
bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.cn = n!/n^n
Hi,
n!(im Zähler) wächst mit steigendem n lngsamer als n^n (im Nenner), von daher
strebt der Wert dieses Bruches in Richtung Null
lim n–>oo = 0
Korrekt mathematisch formulieren kann ich das auf Anhieb leider nicht.
lG
Horst
Liebe/-r Experte/-in,
ich habe mehrere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten und würde
mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mal, als
Beispiel, vorrechnet, damit ich weiß, wie sowas auszusehen
hat. Wär echt super!
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und
bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.cn = n!/n^n
…
Es gibt sicher mehrere Lösungswege. Ich habe meinen auf
http://www.psifaktor.de/www/konvergenz.pdf
hinterlegt.
Gruß, Peter
@Bastiаn Lückе…
Hallo Bastian,
Dein Argument ist leider nicht richtig.
Betrachte als Gegenbeispiel die Folge n/(n+1)
Auch hier ist der Zähler immer kleiner als der Nenner, jedoch ist der Grenzwert 1, nicht Null.
Gruß Peter
@Bastiаn Lückе,
Hallo Bastian,
Dein Argument ist leider nicht richtig.
Betrachte als Gegenbeispiel die Folge n/(n+1)
Auch hier ist der Zähler immer kleiner als der Nenner, jedoch ist der Grenzwert 1, nicht Null.
Gruß Peter
Moin, einfach mal ausschreiben:
n! = 1*2*3*…*n
n^n = n*n*n*…*n
Also n!/n^n = 1/n * 2/n *…* n/n
Fällt was auf? 
Das kann man leicht abschätzen zu
Hallo larryhunter,
bei der Betrachtung der Konvergenz geht es doch darum, ob die Funktion für n gegen Unendlich gegen einen bestimmten Wert konvergiert. In diesem Beispiel hast Du im Zähler n*(n-1)*…*1 also n Faktoren, die dort miteinander multipliziert werden. Im Nenner hast Du n*n*…*n. Das sind genausoviele Faktoren wie im Zähler. Da aber die einzelnen Faktoren (bis auf den ersten) im Nenner viel größer sind als im Zähler, wirst Du - beginnend bei 1 - immer im Nenner eine größere Zahl haben als im Zähler. Wenn Du aber eine Zahl durch eine viel größere Zahl teilst, geht das ganze gegen Null.
Eine allgemeine Regel, wie man diese Aufgaben angeht, gibt es nicht so recht.
Ich hoffe, das hat was gebracht.
Kann leider nicht helfen. Baxbert