Hallo, ich die Folgen
(Die Wurzeln ändere ich ab in ()^0,5)
(a) a_n = ( (n + (n^0,5))^0,5 ) - ( (n - (n^0,5))^0,5 )
(b) a_n = (1-(1/n-2))^n+5
© a_n = (e^n+2)/((e^4*n)-3)^0,25
Also bei den ersten beiden hab ich mich schon versucht und bei (a) den Grenzwert 1 und bei (b) den Grenzwert 0,37 erhalten. Weiß aber nicht ob das richtig ist. Bei © weiß ich leider garnicht was ich tun soll. Hoffe das ihr mir helfen könnt.
Danke schonmal im vorraus!
lg
Hi,
ohne Rechenweg ist da nicht viel zu sagen, a) könnte stimmen, b) ist sicher falsch, da die Folge größer als 5 ist. Oder hast Du nicht nur im Nenner, sondern auch im Exponenten ein Paar Klammern vergessen? In der c) dürften dann auch ein paar Klammern im Exponenten im Nenner fehlen, ansonsten ist kürzen durch den am schnellsten wachsenden Term angesagt.
Gruß Lutz
Hi
Ich versuch mich mal an a)
a_n = sqrt(n + sqrt(n)) - sqrt(n - sqrt(n))
sqrt steht für Wurzel.
a_n^2 = n + sqrt(n) - 2 sqrt((n + sqrt(n))(n - sqrt(n))) + n - sqrt(n)
= 2n - 2sqrt(n^2 - n) = 2 (n - sqrt(n^2 - n))
= 2n (1 - sqrt(1 - 1/n))
Den Term sqrt(1 - 1/n) kann man für größe n (also sehr kleine 1/n) durch 1 - 1/(2n) annähern. Dan bekommst du:
a_n^2 = 2n (1 - 1 + 1/(2n)) = 2n / 2n = 1 => a_n -> 1
MfG IGnow
Hi,
kann man so machen, dann muss man aber die Approximation der Wurzel als exakte Einschränkung machen. Üblicherweise soll die dritte binomische Formel verwendet werden:
\begin{align}
a_n
&= \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}
\[.7em]
&=\frac{
(n + \sqrt{n})-(n - \sqrt{n})
}{
\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}
}
\[.7em]
&=\frac{
2\sqrt{n}
}{
\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}
}
\end{align}
woraus man dann Wurzel n kürzen kann.
Gruß Lutz