Konvergenz einer Reihe

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

folgende Aufgabenstellung:

"Untersuche die Reihe

\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{P(n)}

mit P(n) ein Polynom in n von Grad ≥ 2 ohne Nullstelle in N auf Konvergenz."

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch: Wenn P(n) ein Polynom in n sein soll, aber n ja einfach natürliche Zahlen sind, ist P(n) doch nichts als eine reelle Zahl, abhängig von den Koeffizienten, die ja auch nicht näher bestimmt sind. Ein solches Polynom wäre dann zum Beispiel P(2) = 2+3*2+2^2+14*2^3+2^4. Welchen Sinn macht dann aber die Angabe „ohne Nullstelle in N“. Dies bedeutet dann nur, dass nicht alle Koeffizienten Null sein dürfen.

Ist die Aufgabenstellung falsch, oder blick ich nicht durch?

Vielen Dank und Grüße,
David

#2

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch: Wenn P(n) ein Polynom in
n sein soll, aber n ja einfach natürliche Zahlen sind, ist
P(n) doch nichts als eine reelle Zahl, abhängig von den
Koeffizienten, die ja auch nicht näher bestimmt sind.

Abhängig von den Koeffizienten und n.
n ist ja variabel, von 1 bis unendlich

Ein
solches Polynom wäre dann zum Beispiel P(2) =
2+3*2+2^2+14*2^3+2^4.

Das wäre ein Funktionswert. Ein allgemeineres Beispiel wäre P(n)=n²

Welchen Sinn macht dann aber die Angabe
„ohne Nullstelle in N“. Dies bedeutet dann nur, dass nicht
alle Koeffizienten Null sein dürfen.

Das bedeutet, dass man nicht etwas wie n-10 im Nenner hat, was zu 0 werden könnte (bzw. wird).

mfg,
Ché Netzer

#3

P(n) ungleich null muss gelten weil es im Nenner steht!

Es gibt die konvergente Reihe

\lim_{m \to \infty}
\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2}

könnte man diese als konvergente Majorante verwenden?

weil ja

\frac{1}{n^2} > \frac{1}{P(n)}

gilt.
Da steht allerdings: ‚untersuchen sie‘ in der Aufgabe.
Meistens ist das ein Hinweis darauf, daß es Sonerfälle gibt

#4

Es gibt die konvergente Reihe

\lim_{m \to \infty}
\sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2}

könnte man diese als konvergente Majorante verwenden?

weil ja

\frac{1}{n^2} > \frac{1}{P(n)}

gilt.

Hallo,

David hatte nur geschrieben, dass der Grad von P größer gleich 2 sein soll. Daraus folgt nicht, dass

\frac{1}{n^2} > \frac{1}{P(n)}

Die Aufgabe läuft aber tatsächlich darauf hinaus die Reihe

\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}

als Majorante zu verwenden.
Als Tipp für dich, David:
Schau dir das sogenannte Wachstumslemma für Polynome an. Das ist ein wichtiger Satz aus der Funktionentheorie. Daraus kannst du folgern, dass es ein n0 gibt mit

P(n)\geq cn^2\ \forall n>n_0

Dabei ist c eine geeignete Konstante.
Danach kannst du unterteilen

\sum\limits_1^\infty\frac{1}{P(n)}=\sum\limits_{n=1}^{n_0}\frac{1}{P(n)}+\sum\limits_{n=n_0+1}^\infty\frac{1}{P(n)}

Den ersten Teil kannst du durch eine Konstante abschätzen und den zweiten durch die Majorante.

Gruß

hendrik