Konvergenz von Reihen

Wissenschaft Mathematik
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hallo;

ich soll die Zahlenreihe (Summe von n=2 bis unendlich)1/(n*ln(n)) auf Konvergenz untersuchen und bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe ^^

Zunächst bin ich davon ausgegangen, dass Reihe ist konvergent (es existiert) Integral in den Grenzen von 2 bis unendlich (an) dn

darum habe ich mir die Funktion f(x) als 1/(x*ln(x)) definiert

Das uneigentliche Integral lässt sich folgendermaßen darstellen:
lim b->oo (Integral in den Grenzen von 2 bis b) 1/(x*ln(x)) dx
//Stammfunktion ausrechnen:
lim b->oo [ln(ln(x))](obere Grenze b, untere 2)

für die obere Grenze eingesetzt komme ich damit auf ln(ln(oo))
=ln(oo)
=oo,

woraus folgt, dass die Reihe divergent ist.

ist das richtig oder habe ich irgendwo einen gravierenden Fehler gemacht?

mfG

2

Hallo,

ich soll die Zahlenreihe (Summe von n=2 bis
unendlich)1/(n*ln(n)) auf Konvergenz untersuchen

das Wurzelkriterium ist Dir bekannt? Wenn nicht, solltest Du das schleunigst nachholen.

limn→∞n√an = limn→∞ 1/ln(n) = 0 n = 2…∞ 1/(n ln(n)) ist konvergent.

Gruß
Martin

–––––––––––––––––––––––––––––––
Achtung: Dieser „Beweis“ ist Käse, weil (ln n)n ≠ n ln n
(Nachträgliche Postingänderung als MOD möglich)
–––––––––––––––––––––––––––––––

3

Hallo,

ich soll die Zahlenreihe (Summe von n=2 bis
unendlich)1/(n*ln(n)) auf Konvergenz untersuchen

das Wurzelkriterium ist Dir bekannt? Wenn nicht, solltest Du
das schleunigst nachholen.

limn→∞n√an =
limn→∞ 1/ln(n) = 0 n = 2…∞ 1/(n ln(n)) ist konvergent.

Gruß
Martin

Hi !

Also ich kann in Devils Methode keinen Fehler entdecken. Die kann man übrigens des öfteren anwenden, vorausgesetzt man kennt eine Stammfunktion der Funktion auf der die Punkte (n|an) liegen.
Martin, deine Antwort verstehe ich ehrlich gesagt nicht.
Wieso ist

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{nln(n)}}

das gleiche wie

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{ln(n)}

?

Grüße

hendrik

4

Hallo Hendrik,

auf Deine berechtigte Frage gibt es keine Antwort, weil ich dem Irrtum unterlag (ln n)n sei dasselbe wie n ln n. Verdammte K**** (lach). Sollte natürlich niemals nicht passieren, sowas. Entschuldigung dafür.

Das Problem von DevilSuichiro lässt sich elementar mit dem sogenannten Cauchyschen Verdichtungskriterium lösen. Damit kann man zeigen, dass die Reihe

∑n = 2…∞ 1/(n (ln n)α)

für α>1 konvergent ist, sonst divergent. Dahinter steckt letztlich das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe ∑ 1/nα. Für das Wiesoweshalbwarum dazu verweise ich auf den Wikipedia-Artikel

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtung…

Also ich kann in Devils Methode keinen Fehler entdecken. Die
kann man übrigens des öfteren anwenden, vorausgesetzt man
kennt eine Stammfunktion der Funktion auf der die Punkte
(n|an) liegen.

Einverstanden.

Danke für den Hinweis :smile:

Mit freundlichem Gruß
Martin

5

Dankeschön für eure Antworten =)

war mir wie gesagt bloß unsicher, da 1/(n*(ln(n))a) für a>1 konvergiert, aber (eigentlich) eine allgemeine Aussage für a=(Konvergenzradius) (ich weiß… eigentlich gehört das eher zu Potenzreihen… ^^) nicht abgeleitet werden kann und die Stammfunktion für mich doch etwas „komisch“ aussah :smile:.

mfG