ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand auf verständliche art und weise erklären könnte, wie man das Konvergenzintervall einer Potenzreihe bestimmt, und wie man das Konvergenzverhalten an den Intervallgrenzen untersucht…z.b. von folgender reihe:
(x+1)/(1^0.5)+(x+1)^2/(2^0.5)+(x+1)^3/(3^0.5)+…+(x+1)^n/(n^0.5)
ich wuerde mich wirklich ueber eine antwort freuen…gruesse antje
Hi, Antje!
ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand auf verständliche
art und weise erklären könnte, wie man das Konvergenzintervall
einer Potenzreihe bestimmt, und wie man das
Konvergenzverhalten an den Intervallgrenzen
untersucht…z.b. von folgender reihe:(x+1)/(1^0.5)+(x+1)^2/(2^0.5)+(x+1)^3/(3^0.5)+…+(x+1)^n/(n^0.5)
Erstmal: Dies ist keine Reihe, sondern nur eine ENDLICHE Summe.
*Reihen* haben immer die Gestalt:
Summe ( a_n , wobei n von 0 bis UNENDLICH läuft ) !
*Potenzreihen* habe die Gestalt:
Summe ( a_n * (x-x0)^n , wobei n von 0 bis unendlich läuft ) !
In Deinem Beispiel ist a_n = 1/n^(0.5).
Man spricht bei Potenzreihen von einem Konvergenzradius, dies ist im Reellen ein Intervall, das symmetrisch um den Entwicklungspunkt (in Deinem Beispiel ist das der Punkt -1) liegt.
(Im Komplexen ist es eine offene Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt, daher der Name KonvergenzRADIUS.)
Das Konvergenzgebiet (also im Reellen das Konvergenzintervall) ist die Menge der x, für die die Reihe konvergiert (wenn man ein x daraus einsetzt).
Du erinnerst Dich sicher: Eine Reihe konvergiert, wenn z.B. das Quotientenkriterium erfüllt ist.
Nun betrachten wir die Potenzreihe mal als Reihe und wenden das Quotientenkriterium an:
| (a_[n+1] (x-x0)^(n+1) ) / ( a_[n] (x-x0)^n |
Hallo Antje,
(x+1)/(1^0.5)+(x+1)^2/(2^0.5)+(x+1)^3/(3^0.5)+…+(x+1)^n/(n^0.5)
also die Vorschrift lautet also s=summe[(x+1)^n/(n^0.5)]
Ich wende einfach das Wurzelkriterium an (ist das bekannt?), danach ist nämlich
L=lim [1/(n^0.5)]^n=lim n^(1/2n) = 1
Dann ist der Konvergenzradius R=1/L=1 und deine Potenzreihe konvergiert für
|x+1|1 also x0
zu den Intervallgrenzen:
an der linken Intervallgrenze x=-2 lautet deine Potenzreihe:
s=summe[(-1)^n/(n^0.5)]
und diese Reihe KONVERGIERT, da die Folge
a_n=1/(n^0.5) fallend ist jede Reihe mit summe[(-1)^n * a_n] konvergiert (falls a_n fallend).
an der rechten Intervallgrenze x=0 lautet deine Potenzreihe
s=summe[1/(n^0.5)] > summe[1/n] und da letztere Reihe divergiert, muß also auch deine Potenzreihe divergieren, da sie stets größer ist.
Alles kar?
Oliver
noch eine kleine frage…
(x+1)/(1^0.5)+(x+1)^2/(2^0.5)+(x+1)^3/(3^0.5)+…+(x+1)^n/(n^0.5)
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!!!toll!!!
Man spricht bei Potenzreihen von einem Konvergenzradius, dies
ist im Reellen ein Intervall, das symmetrisch um den
Entwicklungspunkt (in Deinem Beispiel ist das der Punkt -1)
liegt.
Nur etwas habe ich nicht verstanden: Der Begriff Entwicklungspunkt sagt mir überhaupt nichts…vielleicht könntest Du oder sonst jemand mir diesen noch näher erläutern???
gruss…antje
Hallo, Antje!
(x+1)/(1^0.5)+(x+1)^2/(2^0.5)+(x+1)^3/(3^0.5)+…+(x+1)^n/(n^0.5)
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!!!toll!!!
Man spricht bei Potenzreihen von einem Konvergenzradius, dies
ist im Reellen ein Intervall, das symmetrisch um den
Entwicklungspunkt (in Deinem Beispiel ist das der Punkt -1)
liegt.Nur etwas habe ich nicht verstanden: Der Begriff
Entwicklungspunkt sagt mir überhaupt nichts…vielleicht
könntest Du oder sonst jemand mir diesen noch näher
erläutern???
Nun, eine Potenzreihe hat doch immer die Form:
Summe( a_n*(x-x0)^n , …)
(Wobei x die Variable ist und a_n und x0 meist fest vorgegeben sind.)
Der Punkt (die Stelle) x0 heißt Entwicklungspunkt.
Wie schon gesagt: das Konvergenzintervall liegt immer symmetrisch um diese Entwicklungsstelle.
In wieweit kennst Du Dich mit der Taylor-Entwicklung einer Funktion aus?
Wenn Du eine Funktion f an einer Stelle x0 in eine Taylorreihe (also in eine Potenzreihe!) entwickelst, dann bekommst Du die Form:
f(x) = summe ( a_n (x-x0)^n , …)
Daher der Name Entwicklungspunkt.
Analoges gilt im Komplexen.
Beispiele:
-) exp(x) = e^x = Summe[1/(k!) x^k , k von 0 bis unendlich]
Entwicklungspunkt: x0=0, Konvergenzradius: unendlich, diese Reihe konvergiert für jedes x.
-) 1/(2-x) = 1/(1-(x-1)) = Summe[(x-1)^k, k von 0 bis unendlich]
Enwicklungspunkt: x0=1, Konvergenzradius: 1.
Das heißt: diese Reihe konvergiert nur im Intervall ]0,2[ gegen die Funktion!! Setzt man z.B. -1 in die Reihe ein, so divergiert sie (obwohl die Funktion 1/(2-x) auch bei -1 definiert ist).
Diese Entwicklung kannst Du Dir mal anhand der geometrischen Reihe Summe[q^k,…]=1/(1-q) überlegen.
gruss…antje
Viel Spaß beim Entwickeln, 
Frank.
Hallo,
wie schon zuvor gesagt, konvergiert nicht jede Reihe gegen einen Grenzwert, sondern haengt von dem Wert x in Rn(x) ab. Solche reihen nennt man auch Mac Laurinsche Reihen. Im komplexen redet man uebrigens von Laurent-reihen und Konvergenzgebieten/radius, ohne jetzt ins Detail zu gehen.
Da also viele reihen in der Form Rn(x) vorliegen und nicht in der Form Rn(x-xo) geben eine endliche Anzahl von Summanden nur in der Naehe von x=0 die Funktionen naeherungsweise gut wieder. Um auch Angaben ueber Werte zu machen, die weiter weg von Null liegen, stellt man die Reihe um und entwickelt die Reihe nicht um 0 sondern um einen anderen Punkt x0. Das geht dann in die Richtung Taylor-Reihe.
CU